- •Рабочая программа учебной дисциплины
- •Объем дисциплины, виды учебной работы и формы контроля в соответствии с учебным планом специальностей по формам обучения
- •Тема 7. Численное решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений
- •Тема 8. Обзор методов решения уравнений в частных производных
- •Раздел 2. Численные методы решения дифференциальных уравнений
- •Тестовые задания
- •Раздел 1. Методы решения задач алгебры и математического анализа
- •1. Чем вызвана неустранимая погрешность?
- •3. Пусть а - точное, а - приближенное значение некоторого числа. Дайте опре деление относительной погрешности.
- •7. Чем обусловлено появление погрешности округления при численном реше нии поставленной задачи?
- •8. Дайте определение сплайн-функции.
- •9. Сформулируйте постановку задачи интерполирования функции.
- •15. Назовите достоинства и недостатки интерполяционных формул Лагранжа.
- •16. В чем состоит сущность метода наименьших квадратов?
- •17. Когда удобно пользоваться интерполяционной схемой Эйткена?
- •19. Назовите области применения интерполирования функций.
- •С какой точностью можно вычислить по интерполяционной формуле Ла гранжа 1п 100,5 по известным значениям 1п 100, 1п 101, 1п 102 и 1п 103. А)4,5-10"5; б)6,7-10"7; в)2,3-10"9.
- •23. Опишите методику вычисления определенного интеграла по формулам прямоугольников.
- •25. Определить величину шага к по оценке остаточного члена для вычисления
- •26. Назовите области применения формул численного интегрирования.
- •29. Выбор шага интегрирования для обеспечения заданной точности вычисле ния интеграла с помощью метода двойного пересчета.
- •30. Проведите сравнение формул численного интегрирования по точности на основании остаточных членов формул.
- •32. Отличие метода Гаусса с выбором главного (ведущего) элемента от метода Гаусса решения системы линейных алгебраических уравнений.
- •33. В чем преимущество метода Зейделя для решения системы линейных ал гебраических уравнений перед методом простой итерации?
- •34. Для решения систем линейных алгебраических уравнений какого вида раз работан метод прогонки?
- •35. Опишите метод Гаусса решения системы линейных алгебраических уравнений.
- •36. Почему метод простой итерации решения систем линейных алгебраических уравнений называется самоисправляющимся?
- •37. Каковы недостатки решения системы уравнений по правилу Крамера?
- •38. Опишите метод Якоби (простой итерации) решения системы линейных ал гебраических уравнений.
- •39. Опишите метод деления отрезка пополам.
- •41. В чем достоинство и недостаток метода Ньютона нахождения корней нели нейного уравнения?
- •43. Решение нелинейного уравнения методом простой итерации.
- •44. Проведите сравнение методов деления отрезка пополам (доп) и Ньютона по различным критериям (универсальность, скорость сходимости).
- •45. Назовите основные этапы процесса нахождения корня нелинейного уравнения.
- •Раздел 2. Численные методы решения дифференциальных уравнений 1. В чем достоинство неявных методов решения дифференциальных уравнений?
- •3. Оценить погрешность аппроксимации правой разностной производной
- •4. Численное решение методом Эйлера задачи Коши для обыкновенных диф ференциальных уравнений.
- •5. Почему метод Рунге-Кутта называется самостартующим?
- •6. Опишите построение разностной схемы для численного решения обыкно венного дифференциального уравнения.
- •7. Разностная аппроксимация дифференциальных операторов.
- •8. Оценить погрешность аппроксимации центральной разностной производной
- •9. Какой метод численного решения дифференциального уравнения называет ся многошаговым?
- •10. Опишите сущность разностной аппроксимации задачи Коши для обыкно венного дифференциального уравнения первого порядка.
- •11. Оценить погрешность аппроксимации левой разностной производной
- •14. Какая конечно-разностная схема, аппроксимирующая дифференциальное уравнение в частных производных, называтся согласованной?
- •15. Какая задача для уравнений в частных производных называется корректно поставленной?
- •16. Физический смысл условия Куранта-Фридлихса-Леви.
- •17. Какая конечно-разностная схема называется слабо неустойчивой (устойчивой)?
- •18. Какие физические процессы описывают уравнения в частных производных эллиптического типа?
- •19. Укажите методы построения конечно-разностных схем, аппроксимирующих дифференциальное уравнение в частных производных.
- •20. Дайте определение маршевой задачи для уравнений в частных производных.
20. Дайте определение маршевой задачи для уравнений в частных производных.
а) Задача называется маршевой, если решение уравнения в частных производных внутри некоторой области определяется лишь условиями на границе этой области.
б) Задача называется маршевой, если на границе области задана линейная комбина ция искомой функции и ее производной по нормали к границе.
в) Маршевой называется задача, в которой требуется найти решение уравнения в частных производных в незамкнутой области при заданных граничных и начальных условиях.
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ
Самостоятельная работа студентов предполагает изучение теоретического материала по актуальным вопросам дисциплины и его обсуждение на семинарских занятиях, а также выполнение практических заданий.
Темы докладов
Приближенные числа, их абсолютные и относительные погрешности. Значащие и верные цифры приближенного числа.
Погрешность функции. Определение допустимой погрешности аргументов по допустимой погрешности функции.
Построение интерполяционного многочлена Ньютона с разделенными разностями.
Использование остаточного члена интерполяции.
Кусочно-линейная интерполяция функции Рунге.
Приближение функции по методу наименьших квадратов. Нахождение опти мальной степени многочлена.
Построение параболического сплайна.
Вычисление определенного интеграла по формулам прямоугольников, трапеции и Симпсона.
Квадратурные формулы интерполяционного типа.
Метод Гаусса вычисления определенного интеграла.
Интегрирование с помощью степенныхрядов.
Точностные оценки формул интегрирования, выбор шага интегрирования.
Метод Рунге апостериорной оценки погрешности вычисления определенного интеграла. Метод двойного пересчета.
Решение систем линейных алгебраических уравнений. Нормы векторов и матриц.
Точные методы решения системы линейных алгебраических уравнений.
Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Холецкого.
Обращение матриц и вычисление определителей по методу Гаусса-Жор дана.
Решение системы линейных алгебраических уравнений специального вида ме тодом прогонки.
Локализация корней нелинейного уравнения.
Теоретическая оценка радиуса интервала неопределенности корня нелинейного уравнения.
Численные методы решения нелинейных уравнений.
Методы простой итерации и Ньютона для системы нелинейных уравнений.
Численное решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального урав нения первого порядка. Постановка исходной задачи.
33
Построение разностной схемы. Разностная аппроксимация дифференциальных операторов. Оценка погрешности конечно-разностных методов.
Решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений усо вершенствованным методом Эйлера.
Оценка погрешности решения задачи Коши для обыкновенных дифференци альных уравнений по правилу Рунге.
Общая формулировка многошаговых методов для численного решения обыкно венных дифференциальных уравнений.
Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.
Оценка погрешности метода конечных разностей для краевой задачи.
Дивергентная форма уравнений в частных производных. Консервативная ко нечно-разностная схема.
График СРС очной формы обучения
Разделы |
сем. |
нед. |
часы |
Содержание СРС |
Формы контроля СРС |
1. Методы решения задач алгебры и математического анализа |
7 |
1-10 |
4 |
Погрешности арифметических действий над приближенными числами |
Устный опрос, практические задания, тестирование, доклады |
4 |
Интерполяционная схема Эйткена |
||||
6 |
Вывод нормальной системы уравнений для нахождения параметров эмпирической зависимости в методе наименьших квадратов |
||||
6 |
Квадратурные формулы Ньютона-Котеса. Ортогональные многочлены |
||||
6 |
Интегралы отразравных функций. Метод Кон-торовича выделения особенностей |
||||
4 |
Решение системы линейных алгебраических уравнений по правилу Крамера |
||||
6 |
Обусловленность задачи нахождения корня нелинейного уравнения |
||||
5 |
Чувствительность метода Ньютона к выбору начального приближения |
||||
2. Численные методы решения дифференциальных уравнений |
7 |
11-18 |
5 |
Интегральные кривые и графики решений дифференциальных уравнений |
Устный опрос, доклады, тестирование |
4 |
Интегрирование жесткой системы дифференциальных уравнений |
||||
4 |
Решение задачи Коши методом Эйлера с шагом к и /г/2, оценка погрешности |
||||
5 |
Численные решения задачи Коши для уравнения изменения объема производства в замкнутой экономической системе при различных начальных условиях |
||||
5 |
Метод Милна для численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений |
||||
4 |
Свойства модельных уравнений в частных производных |
Примерные вопросы к экзамену
Источники и виды погрешностей. Абсолютная и относительная погрешности.
Интерполирование функции многочленами Лагранжа.
34
Интерполяционные формулы Ньютона.
Интерполирование сплайн-функциями.
Метод наименьших квадратов.
Вычисление определенного интеграла по формулам прямоугольников.
Вычисление определенного интеграла по формуле трапеции.
Вычисление определенного интеграла по формуле Симпсона.
Квадратурные формулы интерполяционного типа.
Метод Рунге апостериорной оценки погрешности вычисления определенного интеграла.
Метод Гаусса вычисления определенного интеграла.
Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.
Решение системы линейных алгебраических уравнений специального вида ме тодом прогонки.
Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Якоби (про стой итерации).
Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Зейделя.
Метод деления отрезка пополам.
Решение нелинейного уравнения методом простой итерации.
Метод Ньютона нахождения корней нелинейного уравнения.
Численное решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального урав нения первого порядка. Постановка исходной задачи.
Построение разностной схемы для численного решения обыкновенного диффе ренциального уравнения.
Разностная аппроксимация дифференциальных операторов.
Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений методом Эйлера.
Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений мето дом Рунге-Кутта второго порядка.
Общая формулировка методов Рунге-Кутта для решения обыкновенных диффе ренциальных уравнений. Семейство методов третьего и четвертого порядков.
Общая формулировка многошаговых методов для численного решения обыкно венных дифференциальных уравнений.
Метод Адамса решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения.
Краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения. Постановка задачи.
Метод конечных разностей для линейных дифференциальных уравнений второ го порядка.
Аналитические методы решения задачи Коши для обыкновенного дифференци ального уравнения.
Методы построения конечно-разностных схем, аппроксимирующих дифферен циальное уравнение в частных производных.
35
СОДЕРЖАНИЕ
ОРГАНИЗАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКИЙ РАЗДЕЛ 3
ТЕМАТИЧЕСКИЕ ПЛАНЫ 4
ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ 5
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ 15
для выполнения контрольной работы студентами заочной формы обучения
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ 17
ФОРМЫ ТЕКУЩЕГО, ПРОМЕЖУТОЧНОГО 18
И ИТОГОВОГО КОНТРОЛЯ
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ 33
36