- •Рабочая программа учебной дисциплины
- •Объем дисциплины, виды учебной работы и формы контроля в соответствии с учебным планом специальностей по формам обучения
- •Тема 7. Численное решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений
- •Тема 8. Обзор методов решения уравнений в частных производных
- •Раздел 2. Численные методы решения дифференциальных уравнений
- •Тестовые задания
- •Раздел 1. Методы решения задач алгебры и математического анализа
- •1. Чем вызвана неустранимая погрешность?
- •3. Пусть а - точное, а - приближенное значение некоторого числа. Дайте опре деление относительной погрешности.
- •7. Чем обусловлено появление погрешности округления при численном реше нии поставленной задачи?
- •8. Дайте определение сплайн-функции.
- •9. Сформулируйте постановку задачи интерполирования функции.
- •15. Назовите достоинства и недостатки интерполяционных формул Лагранжа.
- •16. В чем состоит сущность метода наименьших квадратов?
- •17. Когда удобно пользоваться интерполяционной схемой Эйткена?
- •19. Назовите области применения интерполирования функций.
- •С какой точностью можно вычислить по интерполяционной формуле Ла гранжа 1п 100,5 по известным значениям 1п 100, 1п 101, 1п 102 и 1п 103. А)4,5-10"5; б)6,7-10"7; в)2,3-10"9.
- •23. Опишите методику вычисления определенного интеграла по формулам прямоугольников.
- •25. Определить величину шага к по оценке остаточного члена для вычисления
- •26. Назовите области применения формул численного интегрирования.
- •29. Выбор шага интегрирования для обеспечения заданной точности вычисле ния интеграла с помощью метода двойного пересчета.
- •30. Проведите сравнение формул численного интегрирования по точности на основании остаточных членов формул.
- •32. Отличие метода Гаусса с выбором главного (ведущего) элемента от метода Гаусса решения системы линейных алгебраических уравнений.
- •33. В чем преимущество метода Зейделя для решения системы линейных ал гебраических уравнений перед методом простой итерации?
- •34. Для решения систем линейных алгебраических уравнений какого вида раз работан метод прогонки?
- •35. Опишите метод Гаусса решения системы линейных алгебраических уравнений.
- •36. Почему метод простой итерации решения систем линейных алгебраических уравнений называется самоисправляющимся?
- •37. Каковы недостатки решения системы уравнений по правилу Крамера?
- •38. Опишите метод Якоби (простой итерации) решения системы линейных ал гебраических уравнений.
- •39. Опишите метод деления отрезка пополам.
- •41. В чем достоинство и недостаток метода Ньютона нахождения корней нели нейного уравнения?
- •43. Решение нелинейного уравнения методом простой итерации.
- •44. Проведите сравнение методов деления отрезка пополам (доп) и Ньютона по различным критериям (универсальность, скорость сходимости).
- •45. Назовите основные этапы процесса нахождения корня нелинейного уравнения.
- •Раздел 2. Численные методы решения дифференциальных уравнений 1. В чем достоинство неявных методов решения дифференциальных уравнений?
- •3. Оценить погрешность аппроксимации правой разностной производной
- •4. Численное решение методом Эйлера задачи Коши для обыкновенных диф ференциальных уравнений.
- •5. Почему метод Рунге-Кутта называется самостартующим?
- •6. Опишите построение разностной схемы для численного решения обыкно венного дифференциального уравнения.
- •7. Разностная аппроксимация дифференциальных операторов.
- •8. Оценить погрешность аппроксимации центральной разностной производной
- •9. Какой метод численного решения дифференциального уравнения называет ся многошаговым?
- •10. Опишите сущность разностной аппроксимации задачи Коши для обыкно венного дифференциального уравнения первого порядка.
- •11. Оценить погрешность аппроксимации левой разностной производной
- •14. Какая конечно-разностная схема, аппроксимирующая дифференциальное уравнение в частных производных, называтся согласованной?
- •15. Какая задача для уравнений в частных производных называется корректно поставленной?
- •16. Физический смысл условия Куранта-Фридлихса-Леви.
- •17. Какая конечно-разностная схема называется слабо неустойчивой (устойчивой)?
- •18. Какие физические процессы описывают уравнения в частных производных эллиптического типа?
- •19. Укажите методы построения конечно-разностных схем, аппроксимирующих дифференциальное уравнение в частных производных.
- •20. Дайте определение маршевой задачи для уравнений в частных производных.
14. Какая конечно-разностная схема, аппроксимирующая дифференциальное уравнение в частных производных, называтся согласованной?
а) Согласованной называется разностная схема, аппроксимирующая уравнение в частных производных, если при измельчении сетки погрешность аппроксимации
31
стремится к нулю.
б) Разностная схема называется согласованной, если на каждом шаге по маршевой координате любая ошибка не возрастает при переходе от одного шага к другому.
в) Согласованной схемой называется разностная схема, обеспечивающая точное вы полнение законов сохранения (исключая погрешности округления) на любой сетке в конечной области, содержащей произвольное число узлов разностной сетки.
15. Какая задача для уравнений в частных производных называется корректно поставленной?
а) Задача для уравнений в частных производных называется корректно поставлен ной, если выполняются условия устойчивости и согласованности.
б) Задача для уравнений в частных производных называется корректно поставлен ной, если она имеет единственное решение, непрерывно зависящее от начальных и граничных условий.
в) Задача для уравнений в частных производных называется корректно поставленной, если начальные и граничные условия определены и непрерывны в заданной области.
16. Физический смысл условия Куранта-Фридлихса-Леви.
а) Область зависимости аналитического решения гиперболического уравнения в част ных производных должна лежать внутри области зависимости численного решения.
б) Отличительной особенностью условия Куранта-Фридлихса-Леви является то, что оно обеспечивает «баланс» физической величины в окрестности узла разностной сетки, т.к. учитывает дискретный характер решения поставленной задачи.
в) Тангенс угла наклона прямых, соединяющих узлы разностной сетки (]±1,п) и (], п+1), по абсолютной величине должен быть больше тангенса угла наклона харак теристик гиперболического уравнения в частных производных.
17. Какая конечно-разностная схема называется слабо неустойчивой (устойчивой)?
а) Если отдельная погрешность округления растет (не растет), то разностная схема называется слабо неустойчивой (устойчивой).
б) Если при измельчении сетки погрешность аппроксимации стремится к нулю (единице), то разностная схема называется слабо неустойчивой (устойчивой).
в) Если полная погрешность округления растет (не растет), то разностная схема на зывается слабо неустойчивой (устойчивой).
18. Какие физические процессы описывают уравнения в частных производных эллиптического типа?
а) Уравнения в частных производных эллиптического типа обычно описывают уста новившиеся процессы.
б) Уравнения в частных производных эллиптического типа обычно описывают од номерные динамические процессы.
в) Уравнения в частных производных эллиптического типа обычно описывают неус тановившиеся процессы, но зона зависимости их решений в отличие от гиперболи ческих уравнений не ограничена.
19. Укажите методы построения конечно-разностных схем, аппроксимирующих дифференциальное уравнение в частных производных.
а) Методы: 1) разложение функций в ряд Фурье; 2) дифференциальный метод; 4) метод конечного объема.
б) Методы: 1) разложение функций в ряд Тейлора; 2) интерполяция функций поли номами; 3) интегральный метод; 4) метод контрольного объема.
32
в) Методы: 1) простой явный метод Эйлера; 2) метод Лакса-Вендроффа; 3) метод
использования разностей против потока; 4) метод Кранка-Николсона.