8. Оценить погрешность аппроксимации центральной разностной производной

У(Х_М ) - У(Х;_Л ) УМ -У 1-[ гг ~ , ,

— ₌^±н—^_!_₉ разложив в ряд Тейлора решение дифференциальной

задачи в окрестности узла х,-.

а) О(п³), где п - шаг разностной сетки. б) О(п²), где п - шаг разностной сетки, в) О(п/3), где п - шаг разностной сетки.

9. Какой метод численного решения дифференциального уравнения называет­ ся многошаговым?

а) Метод, дающий формулу для вычисления значения функции у_м = у(х_м), являю­ щегося решением дифференциального уравнения, по к предыдущим значениям

у_г, у_г__х,..., у_г__к+1, называется многошаговым, если к=\.

б) Метод, дающий формулу для вычисления значения функции у_1+х =у(х_м), являю­ щегося решением дифференциального уравнения, при известном значении у₍ и из­ вестном шаге к.

в) Метод, дающий формулу для вычисления значения функции у_м = у(х_1+х), являю­ щегося решением дифференциального уравнения, по к предыдущим значениям у_г, у_г__х,..., у_г__к+х, называется многошаговым, если к>\.

10. Опишите сущность разностной аппроксимации задачи Коши для обыкно­ венного дифференциального уравнения первого порядка.

а) Исходным пунктом при разностной аппроксимации является вычисление погреш-

30

ности 8. Полагается, что погрешность 8 можно представить в виде интерполяцион­ного полинома и-ой степени. Если разностная схема устойчива, то рост любого воз­мущения ограничен, следовательно, можно взять интеграл Фурье от данного поли­нома. В таком случае погрешность аппроксимации стремится к нулю при измельче­нии разностной сетки.

б) Исходным пунктом при разностной аппроксимации является замена области не­ прерывного изменения аргумента некоторым конечным множеством точек, лежа­ щих в этой области (разностная сетка) Эта дискретная модель среды описывается сеточными функциями, которые определены в узлах сетки. Дифференциальное уравнение заменяются соответствующими конечно-разностными соотношениями. В итоге исследуемая задача Коши заменяется, или, как говорят, аппроксимируется системой разностных уравнений - разностной схемой.

в) Заданный отрезок [а, Ь] заменяется системой частичных отрезков [х_г, х₁₊\\ равной длины, называемой разностной сеткой. Расстояние между концами интервала х_г-+1 - х_{, = И есть единичная длина сетки. На каждом отрезке [х_г, х_г-+1] осуществляется чис­ ленное решение дифференциального уравнения. Общее решение на [а, Ь] вычисля­ ется как сумма частных решений по всем частичным отрезкам.

11. Оценить погрешность аппроксимации левой разностной производной

X^х;) ~ Х^хг-1 ) У г ~ Уг-\ гг о , ,

— ₌±г—■^/-±^-^ разложив в ряд Тейлора решение дифференциальной за-

дачи в окрестности узла Х{ (к - шаг разностной сетки).

а) О(п). б) О(п²). в) О(п³).

12. Применяя метод Эйлера, найти решение обыкновенного дифференциально­ го уравнения у'=у-2х/у на интервале [0; 1] с начальным условием у(0) = 1, выбрав шаг к = 0,2.

а)Х0,2) = 1,2000; у(0,4) = 1,4205; у(0,6) = 1,9562; ХОД = 2,3646;Х1,0) = 3,0644. б)Х0,2) = 0,9200; у(0,4) = 0,9040; у(0,6) = 0,8612; ХОД) = 0,7942;XI,0) = 0,7321. в)Х0,2) = 1,2000; ^0,4) = 1,3733; у(0,6) = 1,5294; ХОД) = 1,6786;Х1,0) = 1,8237.

13. Сформулируйте краевую задачу для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка у" = /(х,у,у').

а) Краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения второго поряд­ ка у" = /(х,у,у') заключается в нахождении функции /(х,у,у'), определеной во мно­ жестве В = {о < х < X, | у -у₀1 < I/} и удовлетворяющей т в области В условию Лип­ шица: \/(х,у_ъу')-/(х,у₂,у')\<К\у₁-у₂\, где^=СОП81>0.

б) Найти функцию у = у(х), которая внутри отрезка [а, Ь] удовлетворяет уравнению у" =/(х,у,у'), а на концах отрезка - краевым условиям: ф\\у{а), у'(а)] = 0, ср₂[уф),у\Ъ)\=0.

в) Краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения второго по­ рядка у" = /(х,у,у') заключается в отыскании функции у = у(х), удовлетворяющей этому уравнению и начальным условиям: Х-^о) = .Уо, У'(^хо) = Уо ■