- •Рабочая программа учебной дисциплины
- •Объем дисциплины, виды учебной работы и формы контроля в соответствии с учебным планом специальностей по формам обучения
- •Тема 7. Численное решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений
- •Тема 8. Обзор методов решения уравнений в частных производных
- •Раздел 2. Численные методы решения дифференциальных уравнений
- •Тестовые задания
- •Раздел 1. Методы решения задач алгебры и математического анализа
- •1. Чем вызвана неустранимая погрешность?
- •3. Пусть а - точное, а - приближенное значение некоторого числа. Дайте опре деление относительной погрешности.
- •7. Чем обусловлено появление погрешности округления при численном реше нии поставленной задачи?
- •8. Дайте определение сплайн-функции.
- •9. Сформулируйте постановку задачи интерполирования функции.
- •15. Назовите достоинства и недостатки интерполяционных формул Лагранжа.
- •16. В чем состоит сущность метода наименьших квадратов?
- •17. Когда удобно пользоваться интерполяционной схемой Эйткена?
- •19. Назовите области применения интерполирования функций.
- •С какой точностью можно вычислить по интерполяционной формуле Ла гранжа 1п 100,5 по известным значениям 1п 100, 1п 101, 1п 102 и 1п 103. А)4,5-10"5; б)6,7-10"7; в)2,3-10"9.
- •23. Опишите методику вычисления определенного интеграла по формулам прямоугольников.
- •25. Определить величину шага к по оценке остаточного члена для вычисления
- •26. Назовите области применения формул численного интегрирования.
- •29. Выбор шага интегрирования для обеспечения заданной точности вычисле ния интеграла с помощью метода двойного пересчета.
- •30. Проведите сравнение формул численного интегрирования по точности на основании остаточных членов формул.
- •32. Отличие метода Гаусса с выбором главного (ведущего) элемента от метода Гаусса решения системы линейных алгебраических уравнений.
- •33. В чем преимущество метода Зейделя для решения системы линейных ал гебраических уравнений перед методом простой итерации?
- •34. Для решения систем линейных алгебраических уравнений какого вида раз работан метод прогонки?
- •35. Опишите метод Гаусса решения системы линейных алгебраических уравнений.
- •36. Почему метод простой итерации решения систем линейных алгебраических уравнений называется самоисправляющимся?
- •37. Каковы недостатки решения системы уравнений по правилу Крамера?
- •38. Опишите метод Якоби (простой итерации) решения системы линейных ал гебраических уравнений.
- •39. Опишите метод деления отрезка пополам.
- •41. В чем достоинство и недостаток метода Ньютона нахождения корней нели нейного уравнения?
- •43. Решение нелинейного уравнения методом простой итерации.
- •44. Проведите сравнение методов деления отрезка пополам (доп) и Ньютона по различным критериям (универсальность, скорость сходимости).
- •45. Назовите основные этапы процесса нахождения корня нелинейного уравнения.
- •Раздел 2. Численные методы решения дифференциальных уравнений 1. В чем достоинство неявных методов решения дифференциальных уравнений?
- •3. Оценить погрешность аппроксимации правой разностной производной
- •4. Численное решение методом Эйлера задачи Коши для обыкновенных диф ференциальных уравнений.
- •5. Почему метод Рунге-Кутта называется самостартующим?
- •6. Опишите построение разностной схемы для численного решения обыкно венного дифференциального уравнения.
- •7. Разностная аппроксимация дифференциальных операторов.
- •8. Оценить погрешность аппроксимации центральной разностной производной
- •9. Какой метод численного решения дифференциального уравнения называет ся многошаговым?
- •10. Опишите сущность разностной аппроксимации задачи Коши для обыкно венного дифференциального уравнения первого порядка.
- •11. Оценить погрешность аппроксимации левой разностной производной
- •14. Какая конечно-разностная схема, аппроксимирующая дифференциальное уравнение в частных производных, называтся согласованной?
- •15. Какая задача для уравнений в частных производных называется корректно поставленной?
- •16. Физический смысл условия Куранта-Фридлихса-Леви.
- •17. Какая конечно-разностная схема называется слабо неустойчивой (устойчивой)?
- •18. Какие физические процессы описывают уравнения в частных производных эллиптического типа?
- •19. Укажите методы построения конечно-разностных схем, аппроксимирующих дифференциальное уравнение в частных производных.
- •20. Дайте определение маршевой задачи для уравнений в частных производных.
5. Почему метод Рунге-Кутта называется самостартующим?
а) Метод Рунге-Кутта называется самостартующим, т.к. для вычисления у1+\ нужно использовать лишь имеющеюся информацию о г предыдущих точках (х/+1, З^г+О, (хг-_ 1,Уг.\)„..., (хг.г,Уг.г), (г - шаговый метод).
б) Метод Рунге-Кутта называется самостартующим, т.к. для вычисления уг+\ нужно знать лишь одно значение у, и с помощью этого метода можно начинать решение дифференциального уравнения.
в) Метод Рунге-Кутта называется самостартующим, т.к. невязка или погрешность аппроксимации разностной схемы стремится к нулю при измельчении сетки.
6. Опишите построение разностной схемы для численного решения обыкно венного дифференциального уравнения.
а) Область непрерывного изменения аргумента заменяется некоторым конечным множеством точек, лежащих в этой области. Это множество называется разностной сеткой. Для одномерной задачи примером пространственной разностной сетки яв ляются совокупность точек разбиения отрезка на ТУ частей. Точки деления хг отрезка называют узлами сетки. Расстояние между узлами хг-+1 -х( = к есть шаг сетки.
б) Заданный отрезок [а, Ь] заменяется системой частичных отрезков [хг, х1+\\ равной
29
длины, называемой разностной сеткой. Расстояние между концами интервала хг-+1 -Х{, = к есть единичная длина сетки. На каждом отрезке [хг, х1+\\ осуществляется численное решение дифференциального уравнения.
в) Пусть для некоторого множества точек хо, Х\, ..., хп исходной области известны табличные значения функции у=/{х), являющейся решением дифференциального уравнения. Данное множество значений функции^, У\, ■■■,Уп, называемых узлами, есть разностная сетка. Расстояние между узлами ут -у{ = к называется шагом сетки.
7. Разностная аппроксимация дифференциальных операторов.
а) Сеточная функция у{ есть функция дискретного аргумента, решение дифференци альной задачи и - функция непрерывного аргумента. Они принадлежат разным функциональным пространствам. О близости решений разностной и дифференци альной задач говорят в том случае, когда величина нормы |Цхг)-.уг| в пространстве
сеточных функций неограниченно уменьшается при шаге разностной сетки /г—>0.
б) Рассматривается дифференциальное уравнение первого порядка у = :Г(х, у) с на чальным условием у(х0) =у0. Выбрав достаточно малый шаг к, строят систему рав ноотстоящих точек (разностную сетку) хг- =Хо+1-к. При этом приближенные значения у{хг) вычисляются последовательно по формуламут=у1 + /г:Г(хг,уг).
в) При определении разностной производной вместо отношения бесконечно малых ограничиваются отношением конечных разностей, т.к. для функции дискретного ар гумента на фиксированной сетке понятие предельного перехода при нахождении производной теряет смысл. При этом разностный оператор Ьк аппроксимирует диф ференциальный оператор Ь с порядком п > О в точке хи если для погрешности ап проксимации имеет место у/1=у/(х1) = Ьки-Ьи\ =О(Ип) или |^|<М-/гга, где
М= соп81 > 0 не зависит от шага разностной сетки к.