- •Рабочая программа учебной дисциплины
- •Объем дисциплины, виды учебной работы и формы контроля в соответствии с учебным планом специальностей по формам обучения
- •Тема 7. Численное решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений
- •Тема 8. Обзор методов решения уравнений в частных производных
- •Раздел 2. Численные методы решения дифференциальных уравнений
- •Тестовые задания
- •Раздел 1. Методы решения задач алгебры и математического анализа
- •1. Чем вызвана неустранимая погрешность?
- •3. Пусть а - точное, а - приближенное значение некоторого числа. Дайте опре деление относительной погрешности.
- •7. Чем обусловлено появление погрешности округления при численном реше нии поставленной задачи?
- •8. Дайте определение сплайн-функции.
- •9. Сформулируйте постановку задачи интерполирования функции.
- •15. Назовите достоинства и недостатки интерполяционных формул Лагранжа.
- •16. В чем состоит сущность метода наименьших квадратов?
- •17. Когда удобно пользоваться интерполяционной схемой Эйткена?
- •19. Назовите области применения интерполирования функций.
- •С какой точностью можно вычислить по интерполяционной формуле Ла гранжа 1п 100,5 по известным значениям 1п 100, 1п 101, 1п 102 и 1п 103. А)4,5-10"5; б)6,7-10"7; в)2,3-10"9.
- •23. Опишите методику вычисления определенного интеграла по формулам прямоугольников.
- •25. Определить величину шага к по оценке остаточного члена для вычисления
- •26. Назовите области применения формул численного интегрирования.
- •29. Выбор шага интегрирования для обеспечения заданной точности вычисле ния интеграла с помощью метода двойного пересчета.
- •30. Проведите сравнение формул численного интегрирования по точности на основании остаточных членов формул.
- •32. Отличие метода Гаусса с выбором главного (ведущего) элемента от метода Гаусса решения системы линейных алгебраических уравнений.
- •33. В чем преимущество метода Зейделя для решения системы линейных ал гебраических уравнений перед методом простой итерации?
- •34. Для решения систем линейных алгебраических уравнений какого вида раз работан метод прогонки?
- •35. Опишите метод Гаусса решения системы линейных алгебраических уравнений.
- •36. Почему метод простой итерации решения систем линейных алгебраических уравнений называется самоисправляющимся?
- •37. Каковы недостатки решения системы уравнений по правилу Крамера?
- •38. Опишите метод Якоби (простой итерации) решения системы линейных ал гебраических уравнений.
- •39. Опишите метод деления отрезка пополам.
- •41. В чем достоинство и недостаток метода Ньютона нахождения корней нели нейного уравнения?
- •43. Решение нелинейного уравнения методом простой итерации.
- •44. Проведите сравнение методов деления отрезка пополам (доп) и Ньютона по различным критериям (универсальность, скорость сходимости).
- •45. Назовите основные этапы процесса нахождения корня нелинейного уравнения.
- •Раздел 2. Численные методы решения дифференциальных уравнений 1. В чем достоинство неявных методов решения дифференциальных уравнений?
- •3. Оценить погрешность аппроксимации правой разностной производной
- •4. Численное решение методом Эйлера задачи Коши для обыкновенных диф ференциальных уравнений.
- •5. Почему метод Рунге-Кутта называется самостартующим?
- •6. Опишите построение разностной схемы для численного решения обыкно венного дифференциального уравнения.
- •7. Разностная аппроксимация дифференциальных операторов.
- •8. Оценить погрешность аппроксимации центральной разностной производной
- •9. Какой метод численного решения дифференциального уравнения называет ся многошаговым?
- •10. Опишите сущность разностной аппроксимации задачи Коши для обыкно венного дифференциального уравнения первого порядка.
- •11. Оценить погрешность аппроксимации левой разностной производной
- •14. Какая конечно-разностная схема, аппроксимирующая дифференциальное уравнение в частных производных, называтся согласованной?
- •15. Какая задача для уравнений в частных производных называется корректно поставленной?
- •16. Физический смысл условия Куранта-Фридлихса-Леви.
- •17. Какая конечно-разностная схема называется слабо неустойчивой (устойчивой)?
- •18. Какие физические процессы описывают уравнения в частных производных эллиптического типа?
- •19. Укажите методы построения конечно-разностных схем, аппроксимирующих дифференциальное уравнение в частных производных.
- •20. Дайте определение маршевой задачи для уравнений в частных производных.
45. Назовите основные этапы процесса нахождения корня нелинейного уравнения.
а) На первом этапе левая часть нелинейного уравнения Дх) = 0 аппроксимируется на интервале [а, Ь] интерполяционным многочленом Ньютона. На втором этапе, ис пользуя заданное начальное приближение, строится итерационный процесс, позво ляющий уточнить значение отыскиваемого корня.
б) На первом этапе проверяется выполнение достаточных условий сходимости. На втором этапе нелинейное уравнение заменяется на интервале [а, Ь] эквивалентным уравнением. На третьем этапе строится итерационный процесс, позволяющий опре делить значение корня нелинейного уравнения.
в) На первом этапе изучается расположение корней и проводится их разделение, т.е. находится какой-либо интервал [а, Ь] оси Ох, внутри которого находится один ко рень, и нет других решений нелинейного уравнения. На втором этапе, используя за данное начальное приближение, строится итерационный процесс, позволяющий уточнить значение корня нелинейного уравнения.
Раздел 2. Численные методы решения дифференциальных уравнений 1. В чем достоинство неявных методов решения дифференциальных уравнений?
а) В том, что неявные методы в большинстве случаев абсолютно устойчивы.
б) В том, что неявные методы в большинстве случаев являются более простыми в реализации в виде программного продукта.
28
в) В том, что неявные методы не требуют на каждом шаге решения нелинейного уравнения.
2. Применяя метод Эйлера, численно решить дифференциальное уравнение у' = 0,5 х-у с начальным условием у(0) = 1 на отрезке [0; 1] с шагом к = 0,2.
а)Х0,2) = 1,0000; Х0,4) = 1,0420; Х0,6) = 1,1952; ХОД = 1,3646;Х1,0) = 1,5644. б)Х0,2) = 1,0200; у(0,4) = 1,0404; у(0,6) = 1,0612; ХОД = 1,0942; Х1,0) = 1,1321. в)Х0,2) = 1,0000; у(0,4) = 1,0200; Х0,6) = 1,0608; ХОД = 1,1244; Х1,0) = 1,2144.
3. Оценить погрешность аппроксимации правой разностной производной
— г)
_
Уг+л—У±_^
разложив
в ряд Тейлора решение дифференциальной
за-
хм - хг к
дачи в окрестности узла хг {к - шаг разностной сетки).
а) О(п2). б) О(п). в) О(Ь3).
4. Численное решение методом Эйлера задачи Коши для обыкновенных диф ференциальных уравнений.
а) В методе Эйлера решение Xх) дифференциального уравнения у =/{х,у) получается как предел последовательности функций у„(х), которые находятся по реккурентной формуле
б) Строится система равноотстоящих точек хг=х0+/-/г (/: = 0, 1, 2,...). Вычисления значений у(хг), являющихся решением дифференциального уравнения у =Лх,у), проводятся в два этапа. На первом этапе находится промежуточное значение
уг■= уг■+ а к /(хг■, уг■) с шагом а к, на втором этапе -
У 1+\ = У, + (1 — сг) Л /(х1 ,у1) + ак /(х1 + сек, у1), где а > 0, о > 0 - параметры, определяемые из соображений точности.
в) Строится система равноотстоящих точек хг = Хо+1-к (/ = 0, 1, 2,...) при достаточно малом шаге к. Приближенные значения у(хг), являющиеся решением дифференци ального уравнения у = Дх, у), вычисляются последовательно по формулам уг+\ = у, +