41. В чем достоинство и недостаток метода Ньютона нахождения корней нели­ нейного уравнения?

а) Метод Ньютона весьма быстро сходится, точность каждого приближения в этом методе пропорциональна квадрату точности предыдущего. Основной недостаток метода - необходимость достаточно точного начального приближения.

б) Метод Ньютона относится к числу итерационных методов второго порядка и имеет наибольшую точность нахождения корней нелинейного уравнения. Основной недостаток метода - медленная скорость сходимости, что приводит к значительным затратам машинного времени при решении сложных нелинейных уравнений.

в) Метод Ньютона в ряду итерационных методов нахождения корней нелинейного уравнения наиболее прост в организации вычислительного процесса. Основной не­ достаток метода - достаточно медленная скорость сходимости.

42. Дано уравнение х³ + х² -1 = 0. Привести данное уравнение к виду, при кото­ ром выполняются достаточные условия сходимости для метода простой итера­ ции на отрезке [0,1; 1].

а) х = х~² -3 . б) х = (1 -х³)/3х. в) х = \14^+Ъ .

43. Решение нелинейного уравнения методом простой итерации.

а) Нелинейное уравнение Дх) = 0 на интервале [а, Ь] заменяется эквивалентным уравнением х = ф(х). Итерации образуются по правилу х_к+\ = ф(х^), (к = 0, 1, ...), при­ чем задается начальное приближение х₀. Если последовательность чисел Хк имеет предел при &—>0, то этот предел является корнем уравнения х = ф(х).

б) Для нахождения корня нелинейного уравнения Дх) = 0 методом простой итерации требуется, чтобы на концах интервала [а, Ь] функция Дх) принимала ненулевые зна­ чения противоположного знака. Итерационная процедура состоит в переходе от та­ кого интервала к новому интервалу, совпадающему с одной из половин предыдуще­ го и обладающему тем же свойством. Процесс заканчивается, когда длина вновь по­ лученного интервала станет меньше заданной точности 8, и в качестве корня урав­ нения приближенно принимается середина этого интервала.

в) Для нахождения корня нелинейного уравнения Дх) = 0 методом простой итерации

27

требуется, чтобы функция Дх) имела на интервале [а, Ь] непрерывные производные 1-го и 2-го порядков, сохраняющие на [а, Ь] постоянный знак. Для начала вычисле­ний необходимо задание одного начального приближения х₀. Последующие при­ближения определяется по формуле х_к+\ = х_к~Лх_к)//(х_к), (к = 0, 1, ...).

44. Проведите сравнение методов деления отрезка пополам (доп) и Ньютона по различным критериям (универсальность, скорость сходимости).

а) Метод Ньютона обладает большей универсальностью, чем метод ДОП, т.к. схо­ димость зависит только от выбора начальной точки. Вычисления методом ДОП можно начинать лишь с отрезка, на концах которого функция имеет разные знаки, а внутри этого интервала непрерывные производные 1-го и 2-го порядков. При реше­ нии практических задач не всегда удается проверить выполнение необходимых ог­ раничений на выбор подобного интервала. Однако метод ДОП обладает более высо­ кой скоростью сходимости.

б) Более универсальным является метод ДОП. Он гарантирует получение решения для любой непрерывной функции Г(х), если найден интервал, на котором она меняет знак. Метод Ньютона предъявляет к функции более жесткие требования. Сходи­ мость метода Ньютона существенно зависит от выбора начальной точки. При реали­ зации данного метода необходимо предусматривать вычисление производных функции для организации итерационного процесса и проверки условий сходимости. Важным преимуществом метода Ньютона является высокая скорость сходимости, обеспечивающая значительную экономию машинного времени при решении слож­ ных нелинейных уравнений.

в) Методы Ньютона и ДОП имеют одинаковые необходимые и достаточные условия сходимости, поэтому применимы в одинаковых условиях. Однако метод ДОП обла­ дает линейной скоростью сходимости, поэтому весьма быстро сходится в отличие от метода Ньютона, который обладает лишь квадратичной скоростью сходимости.