20.Формула Пуассона

Если вер. события p в отдельн. испытании близка к 0, то даже при большом числе испытаний n, но небольш. величине вероятности , получен. по локальн. формуле Лапл. не достаточно близки к их истин. значениям. В таких случаях применяют формулу Пуасона. Теор.: Если вер. p наступления соб. А в кажд. испытании постоянна, но близка к 0, число независим. испытаний n достаточн. велико, а , то вер. того, что в n независ. испытаниях соб. А наступит m раз . Это формула Пуасона. Доказ-во: Для вычисления вер. воспользуемся формул. Бернулли: (Т.к. , то )= . Т.к. по условию n велико, то найдем предел правой части последн. равенства при , при этом будет получено приближен. значение вероятн.: = = = = Пределы всех скобок, кроме предпоследн. равны 1 при . Следоват-но вер. того, что в n испытаниях событие появится m раз . Замечание: Формулу Пуассона обычно используют, когда , а .

22.Понятие случайной величины. Дискретные и непрерывн. Случайн. Величины.

Случайной называется величина, кот. в рез-те опыта может принять то или иное возможн. значение неизвестное заранее, но обязат-но одно. Пример: число попадений при 5 выстрелах, цена акций на бирже в определен. момент времени. Дискретной случ. величиной называют такую случ. величину, множ-во возможн. значений кот. либо конечное, либо бесконечное, но счетное. Пример: число солнечных дней в году. Непрерывн. случ. величиной называют такую случ. величину, кот. может принять любое значение из некотор. конечного или бесконечн. интервала. Пример: расходы горючего на единицу расстояния. Случ. величины обозначаются большими латинск. буквами из конца алфавита(X, Y, Z). - соответсвующ. значения случ. величины. Введем операции над случ. величинами. Пусть имеется 2 СВ X и Y, возможн. значениями кот. являются и . Определ.: Суммой X+Y случ. величин X и Y называют СВ Z , возможн. значения кот. равны . Определ.: Произведением XY СВ X и Y называется СВ Z, возможн. значения кот. равны . Определ.: Произведением CX СВ X на постоян. C называется такая СВ Z, возможн. значения кот. равны . Аналогично определяются X-Y и X/Y двух СВ.

23.Ряд распределения дискретн. Случ. Величины

Появление тех или иных значений случ. величины можно рассматривать как события, а различн. событиям соответств. различн. вероятности. Поэтому возможн. значения случ. величины различаются между собой с вероятностн. точки зрения. Перечисление всех возм. значений случ. вел. не дает достаточно полн. представл. о ней. Кроме значений случ. вел. необходимо знать, как часто м. появляться те или иные значения случ. вел. в рез-те испытаний проводящихся в одинак. условиях. Рассмотрим дискретн. случ. вел. X, возможн. значения кот. . Кажд. из этих значений возможно, но не достоверно, и случ. вел. X м. принять кажд. из них с некотор. вероятностью. В рез-те опыта вел. X примет одно их этих значений: , т.е. произойдет одно из полной группы несовместн. событие. Обозначим вероятн. этих событий: . Т.к. указан. события несовметны и образуют полн. группу, то , т.е. сумма вероятностей всех возм. значений равна 1.Если мн-во значений случ. вел. образует бесконечн., но счетн. мн-во, то ряд сходится и его сумма равна 1. Т.о. суммарная вер. единицы распределена между отдельн. значениями СВ. СВ будет полностью описана с вероятн. точки зрения, если мы зададим это распределение, т.е. в точности укажем, какой вер. обладает каждое из событий. Опред.: Законом распредел. СВ назыв. всякое соотношение, устанавливающ. связь между возможн. значениями СВ и соответсв. им вероятностями. Закон распредел. м. задать табличным, графич. или аналитич. способами. При табличн. способе 1-ая строка табл. содержит возможн. значение СВ, а 2-ая соответств. вероятности. Обычно зачение СВ располагают в возрастающ. порядке. Чтобы придать ряду распредел. более наглядн. вид часто прибегают к его графич. изображению. По оси абсцисс откладывают возможн. знач. СВ, а по оси ординат вероятности этих значений. Получен. точки соединяют отрезками прямых. Получен. фигуру называют многоугольн. распредел. Он полностью характеризует СВ и является одной из форм закона распред. Замеч.: Ряд распред. и многоуг. распред. можно построить только для дискретн. СВ