38. Закон распределения монотонной функции одного случайного аргумента.

Имеется непрерывная СВ Х с плотностью распределения f(x). Другая СВ Y связана с нею функцианальной зависимостью: Y =φ(X). Требуется найти плотность распределения величины Y. Рассмотрим участок оси абсцисс (a, b), на котором лежат все возможные значения величины Х, т.е. P(a<X<b) = 1. В частном случае, когда область возможных значений Х ничем не ограничена, a = —∞; b = +∞. Способ решения поставленной задачи зависит от поведения функции φ на участке (a, b): возрастает ли она на этом участке или убывает, или колеблется. Рассмотрим случай, когда функция y= φ(x) на участке (a, b) монотонна. При этом отдельно проанализируем 2 случая: монотонного возрастания и монотонного убывания функции.

Функция y= φ(x) на участке (a, b) монотонно возрастает. Когда величина Х принимает различные значения на участке (a, b), случайная точка (X, Y) перемещается только по кривой y= φ(x); ордината этой точки полностью определяется ее абсциссой. Обозначим g(y) плотность распределения величины Y. Для того чтобы определить g(y), найдем сначала функцию распределения величины Y: G(y) = P(Y<y). Проведем прямую АВ, параллельную оси абсцисс на расстоянии y от нее. Чтобы выполнить условие Y<y, случайная точка (X, Y) должна попасть на тот участок кривой, который лежит ниже прямой АВ; для этого необходимо и достаточно, чтобы СВ Х попала на участок оси абсцисс от a до x, где х – абсцисса точки пересечения кривой y= φ(x) и прямой АВ. Следовательно, G(y) = P(Y<y) = P(a<X<х) = . Верхний предел интеграла x можно выразить через y: x = (y), где –функция, обратная функции φ. Тогда G(y) = . Дифференцируя последний интеграл по переменной y, входящей в верхний предел, получим: g(y) = G'(y) = f( (y)) '(y) – формула (1).

Функция y= φ(x) на участке (a, b) монотонно убывает. В этом случае G(y) = P(Y<y) = P(x<X<b) = , откуда g(y) = G'(y) = —f( (y)) '(y) – формула (2). Сравнивая формулы (1) и (2), замечаем, что они могут быть объединены в одну: g(y) = f( (y)) | '(y)| - формула (3). Действительно, когда φ возрастает, ее производная (а значит и ') положительна. При убывающей функции φ производная ' отрицательна. Следовательно, формула (3), в которой производная берется по модулю, верна в обоих случаях. Таким образом, задача о законе распределения монотонной функции решена.

39. Закон распределения линейной функции от аргумента, подчиненного нормальному закону.

Пусть СВ Х подчинена нормальному закону с плотностью: f(x) = , а СВ Y связана с нею линейной функцианальной зависимостью: Y = aX+b, где a и b – неслучайные коэффициенты. Требуется найти закон распределения величины Y. Т.к. функция y = ax+b монотонна (при a>0 возрастает монотонно, при a<0 убывает монотонно), то плотность распределения, согласно формуле g(y) = f( (y)) | '(y)|, будет равна g(y) = , где x = (y) = (y – b)/a; | '(y)| =1/|a|. (таблица не обязательна!!!)

f(x)
y= φ(x)	y = ax+b
x = (y)	x = (y – b)/a
'(y)	1/a
| '(y)|	1/|a|
g(y) = f( (y)) | '(y)|	g(y) =

Преобразуя выражение g(y), имеем: g(y) = , а это есть не что иное, как нормальный закон с параметрами: . Если перейти от средних квадратических отклонений к пропорциональным им вероятным отклонениям, получим E_y = |a|E_x. Т.о., мы убедились, что линейная функция от аргумента, подчиненному нормальному закону, также подчинена нормальному закону. Чтобы найти центр рассеивания этого закона, нужно в выражение линейной функции вместо аргумента подставить его центр рассеивания. Чтобы найти среднее квадратическое отклонение этого закона, нужно среднее квадратическое отклонение аргумента умножить на модуль коэффициента при аргументе в выражении линейной функции. То же правило справедливо и для вероятных отклонений.