7. Тождества алгебры множеств

С помощью операций объединения, пересечения и дополнения из множеств можно составлять различные алгебраические выражения.

Если алгебраические выражения V(X,Y,Z) и S(X,Y,Z) представляют собой одно и то же множество, то их можно приравнять друг другу, получая алгебраическое тождество вида V(X,Y,Z) = S(X,Y,Z)

1. (X∪Y)∩Z = (X∩Z)∪(Y∩Z) (аналогичное дистрибутивному закону (a+b)c=(a+c)(b+c) в обычной алгебре).

2. (X∩Y)∪Z = (X∪Z)∩(Y∪Z)

3. Если Y⊆X, то X∩Y=Y, X∪Y=X. Действительно, все элементы множества Y являются в то же время и элементами множества X. Значит пересечение этих множеств, то есть общая множеств Х и Y совпадает с Y. В объединение множеств X и Y множество Y не внесет ни одного элемента, который уже не входил бы в него, будучи элементом множества Х. Следовательно, X∪Y совпадает с X.

4. Пусть в примере 3 Y=X. Тогда, учитывая, что X⊆X, то X∩Х=Х, X∪Х=X. (идемпотентность).

5. Докажем тождество (X∪Y)¯=X¯∩Y¯. Предположим, что х∈(X∪Y)¯, то есть х∉X∪Y. Это значит, что х∉X и х∉Y, то есть и x&isinX¯ и x&isinY¯;. Следовательно, x∈X¯∩Y¯. Предположим теперь, что y∈X¯∩Y¯, то есть y∈X¯ и y∈Y¯. Это значит, что y∉X и y∉Y, то есть что y∉X∪Y. Следовательно, y∈(X∪Y)¯.

6. Тождество (X∩Y)¯=X¯∪Y¯. Обычно тождества 5) и 6) называются тождествами де-Моргана.

7. (A\B)∩C=(A∩C)\B=(A∩C)\(B∩C)

8. A\B=A\(A∩B)

9. A=(A∩B)∪(A\B)

Дополнение к занятию «операции над множествами»

Множество элементов, принадлежащих или A, или B, называют симметричной разностью или дизьюнктивной суммой.

S = A⊕B = (A\B)∪(B\A) = (A∩B¯)∪(A¯∪B) = (A∪B)∩(A∩B)¯

Для симметрической разности выполняются следующие законы:

1. 1) A⊕B = B ⊕A — коммутативность,

2. 2) A⊕(B⊕С) = (A⊕B)⊕С — ассоциативность,

3. 3) A⊕∅ = А=∅⊕A — существование нейтрального элемента,

4. 4) A ⊕А = ∅

5. 5) A∩(B⊕С) = (A∩B)⊕(А∩С) — дистрибутивность относительно пересечения.

Упорядоченное множество

Упорядоченным множеством (или кортежем) называется последовательность элементов, то есть совокупность элементов, в которой каждый элемент занимает определенное место. Сами элементы — компоненты кортежа.

Пример 1. Множество людей, стоящих в очереди, множество слов в фразе, алфавит. Во всех этих множествах место каждого элемента является вполне определенным и не может быть произвольно изменено.

Число элементов кортежа называется его длиной. Обозначают кортеж скобками «< >», иногда круглыми «( )». А=<a₁, a₂, ..., a_n>. Кортежи длины 2 называются упорядоченными парами, 3 — тройками, n-ками.

Частный случай: кортеж длины 1 — <a>

кортеж длины 0 — < > или ∧ — пустой кортеж.

Отличие кортежа и обыкновенного множества: в кортеже могут быть одинаковые элементы.

Упорядоченные множества, элементами которых являются вещественные числа, будем называть векторами или точками пространства (n-мерного).

Так, кортеж <a₁, a₂> может рассматриваться как точка на плоскости или вектор, проведенный из начала координат в данную точку. Тогда компоненты a₁, a₂ — проекции вектора на оси 1 и 2.

Пр₁ <a₁, a₂> = a₁, Пр₂ <a₁, a₂> = a₂, Пр_i <a₁, a₂, a₃>= a_i, Пр₁2 <a₁, a₂, a₃>= <a₁, a₂> — двухэлементный кортеж. Проекция кортежа на пустое множество осей — пустой кортеж.

Обобщая эти понятия, будем рассматривать упорядоченное n-элементное множество вещественных чисел (a₁, ..., a_n) как точку в воображаемом n–мерном пространстве (иногда называемом гиперпространством), или как n-мерный вектор. При этом компоненты n-элементного кортежа а будем рассматривать как проекции этого кортежа на соответствующие оси.

Пр_i a = a_i, i=1,2,...,n

Пр_i,j,...,l a = <a_i, a_j, ..., a_l>, i=1,2,...,n

Два вектора равны, если они имеют одинаковую длину и соответствующие координаты их равны.

<a₁, ..., a_m> = <b₁, ..., b_n> ⇔ m = n и a₁ = b₁, b₁ = b₂, ...

Компонентами кортежа (вектора) могут быть также компоненты кортежи (векторы):

Пример. Слова в предложении,

A = < <a₁, a₂>, <a₁, a₃>, <a₂, a₃> >

Прямое произведение множеств

Прямым (декартовым) произведением множеств X и Y называется множество, состоящее из всех тех и только тех упорядоченных пар, первая компонента которых принадлежит множеству X, а вторая принадлежит множеству Y.

Формально: X*Y = {<x,y>: x∈X, y∈Y}

Пример 2. Пусть X=<1,2>, Y=<1,3,4>

Тогда X*Y={<1,1>,<1,3>,<1,4>,<2,1>,<2,3>,<2,4> } См. рис. а).

Пример 3. Пусть X и Y — отрезки вещественной оси. Прямое произведение X*Y изображается заштрихованным прямоугольником. См. рис. б).

Прямое произведение изменяется при изменении порядка сомножителей т.е.

X*Y ≠ Y*X

Прямое произведение множеств X₁, X₂, ..., X_n — это множество, обозначаемое X₁*X₂*...*X_n и состоящее из всех тех и только тех кортежей длины n, правая компонента которых принадлежит X₁, вторая — X₂ и т.д.

Очевидно X*Y = ∅ ⇔ X = ∅ или Y = ∅.

Аналогично X₁*X₂*...*X_n = ∅ тогда и только тогда, когда хотя бы одно из множеств X₁, X₂, ..., X_n является пустым.

Частным случаем прямого произведения является понятие степеней (декартовых) множества — прямое произведение одинаковых множеств

M^s=M*M*...*M, M¹=M, M⁰=∧.

Обычно R — множество вещественных чисел, тогда R²=R*R — вещественная плоскость и R³=R*R*R — трехмерное вещественное пространство.

Пример. A={a,b,c,d,e,f,g,h}, B={1,2,3, ...,8}

Тогда A*B ={a₁, a₂, a₃, ..., h7, h8} — множество обозначающее все 64 клеток шахматной доски.

Пример. Пусть A — конечное множество, элементами которого являются символы (буквы, цифры, знаки препинания и т.д.). Такие множества обычно называют алфавитами. Элементы множества a_n называются словами длины n в алфавите A. Множество всех символов в алфавите A — это множество A^* = ∪Aⁱ = A¹∪A²∪A³... . При написании слов не принято пользоваться ни запятыми, ни скобками, ни разделителями.

СЛОВО ⇔ <С,Л,О,В,О>

Теорема. Пусть a₁, a₂, ..., a_n — конечные множества и |a₁| = m₁, |a₂|=m₂, ..., |a_n|=m_n. Тогда мощность множества a₁*a₂*a₃*...*a_n равна произведению мощностей a₁, a₂, ..., a_n

|a₁*a₂*...*a_n|=|a₁|*|a₂|*|a₃|*...*|a_n|= m₁*m₂*...*m_n

Следствие |a_n|=|A|ⁿ

Проекция множества.

Операция программирования множества тесно связана с операцией проектирования кортежа и может применяться лишь к таким множествам, элементами которых являются кортежи одинаковой длины.

Пусть M — множество, состоящее из кортежей длины S. Тогда пролинией множества M будем называть множество пролиний всех кортежей из М

Пример. Пусть М={<1,2,3,4,5>,<2,1,3,5,5>,<3,3,3,3,3>,<3,2,3,4,3>}

тогда Пр₂М={2,1,3}, Пр₃M={3}, Пр₄M={4,5,3}, Пр₂₄M={<2,4>,<1,5>,<3,3>}, Пр₁₃M={<1,3>,<2,3>,<3,3>}, Пр₁₅M={<1,5>,<2,5>,<1,3>}, Пр₂₅M={<2,5>,<1,5>,<3,3>,<2,3>}.

Очевидно что если М=Х*Y то Пр₁М=Х, Пр₂М=Y

и если Q⊆Х*Y то Пр₁Q⊆Х и Пр₂Q⊆Y

Пример. V={<a,b,d>,<c,b,d>,<d,b,b>}

Пр₁V={a,c,d}

Пр₂V={b}

Пр₃V={d,b}

Пр₁2V={<a,b>,<c,b>,<d,b>}

Пр₂3V={<b,d>,<b,b>}

Пр₁3V={<a,d>,<c,d>,<d,b>}

Пусть V — множество векторов одинаковой длины S.

Пр_iV ={Пр_iv/v∈Y}, Пр_ii...ikv = { Пр_ii...ikv/v∈Y}.

Если V =A₁*A₂*...*A_n, то Пр_ii...ikV=A_i1*A_i2*...*A_ik.

В общем случае Пр_iV — вовсе не обязательно прямое произведение: оно может быть подмножеством.