- •1.1 Введение
- •1 Лекция
- •1.2 Основные допущения изучаемого курса
- •1 Лекция
- •1.3 Расчетная схема сооружения
- •1) По геометрическим признакам:
- •2) По типу опорных реакций от действия вертикальных нагрузок:
- •3) По характеру внутренних связей:
- •4) По характеру работы в пространстве:
- •1 Лекция
- •1.4 Типы внешних и внутренних связей
- •1 Лекция
- •1.5 Кинематический анализ стержневых систем
- •1 Лекция
- •1.6 Степень свободы плоской стержневой системы, формулы для ее определения
- •1 Лекция
- •1.7 Принципы образования геометрически неизменяемых и мгновенно изменяемых систем (таблица 1.1)
- •2 Лекция
- •2.1 Виды нагрузок.
- •2 Лекция
- •2.2 Виды внешних воздействий
- •2 Лекция
- •2.3 Общие принципы расчета статически определимых систем
- •2.3.1 Типы расчетных схем статически определимых систем
- •2.3.2 Аналитические способы расчета статически определимых систем
- •I этап. Определение опорных реакций
- •II этап. Определение внутренних усилий
- •3 Лекция
- •3.1 Эпюры внутренних усилий в простейших балках
- •3 Лекция
- •3.2 Определение внутренних усилий в простейшей раме
- •3 Лекция
- •3.3 Определение внутренних усилий в многопролетной статически определимой балке
- •3 Лекция
- •3.4 Определение внутренних усилий в трехшарнирных системах
- •4 Лекция Основные теоремы об упругих системах и определение перемещений в статически определимых системах
- •4.1 Работа внешних и внутренних сил. Потенциальная энергия деформации
- •4 Лекция
- •4.2 Принцип возможных перемещений
- •4 Лекция
- •4.3 О взаимности возможных работ и взаимности возможных перемещений
- •4 Лекция
- •4.4 Общая формула для определения перемещений в плоских стержневых системах
- •4 Лекция
- •4.5 Техника определения перемещений
- •4 Лекция
- •4.6 Методика определения перемещений в статически определимых стержневых системах
4 Лекция
4.5 Техника определения перемещений
а) Перемещения, вызываемые внешними силовыми воздействиями
В этом случае формула для перемещений имеет вид:
В стержневых системах, элементы которых работают преимущественно на изгиб, последние два слагаемых этой формулы малы (в среднем около 3% полного перемещения). Поэтому на практике при определении перемещений в балках, рамах и иногда в арках пользуются приближенной формулой:
|
(4.17) |
В общем случае перемножение выражений для изгибающих моментов с последующим интегрированием довольно трудоемкая операция. Она была существенно упрощена студентом Московского института инженеров железнодорожного транспорта А.К.Верещагиным в 1925 году (заменена перемножением грузовой и единичной эпюр):
|
(4.18) |
Если в стержнях системы (например фермы), возможны только продольные усилия, то перемещения, вызываемые внешней нагрузкой:
|
(4.19) |
В тех случаях, когда жесткости и продольные усилия не изменяются по длине стержней:
|
(4.20) |
б) Перемещения, вызываемые изменениями температуры
Если перемещения происходят только вследствие изменения температуры, то:
|
(4.21) |
Если допустить, что в сечении стержня, разность температур крайних волокон t'=|t1−t2| и коэффициент линейного расширения материала по длине участка одинаковы, то эту формулу можно переписать:
где − площадь эпюры моментов на "k"-ом силовом участке от единичного воздействия; − тоже для продольных сил.
Первое слагаемое принимается положительным, если при воздействии температуры t’ и действии момента стержень искривляется в одну и ту же сторону. Второе слагаемое положительно, если при воздействии температуры tср и продольной силы деформации стержня одного и того же знака.
В шарнирно-стержневых системах (фермах) перемещение, вызываемое изменением температуры:
в) Перемещения, вызываемые смещением опор
В формуле (4.22) влияние смещения опор учитывается последним слагаемым:
|
(4.23) |
Произведение будем считать положительным, если направление реакции при единичном воздействии совпадает с направлением исходного смещения опоры.
4 Лекция
4.6 Методика определения перемещений в статически определимых стержневых системах
Таблица 4.1 – Порядок определения перемещений в статически определимых системах
В системах, элементы которых работают на изгиб (балках, рамах) |
В шарнирно-стержневых системах (фермах) |
Кинематический анализ |
|
Построение эпюры изгибающих моментов от заданного внешнего воздействия |
Определение продольных усилий в каждом из стержней от заданной внешней нагрузки |
В направлении искомого перемещения прикладывается единичное воздействие (рисунок 4.11) |
|
Построение эпюры изгибающих моментов от единичного воздействия |
Определение продольных усилий в каждом из стержней от единичного воздействия |
Перемножение эпюр изгибающих моментов от внешнего и единичного воздействия |
Определение алгебраической суммы произведений продольных усилий в каждом из стержней от внешнего и единичного воздействия |
В результате − искомое перемещение |
Пример определения перемещения в шарнирно-стержневой системе
Для заданной фермы требуется определить вертикальное перемещение узла 4. Площадь поперечных сечений стоек равна «1.5А», а площадь поперечных сечений остальных элементов фермы равна «А». Все стержни из одного материала (Е=const).
Начинать следует с кинематического анализа. Далее в направлении искомого перемещения прикладываем единичную силу и определяем усилия во всех стержнях от внешней и единичной нагрузки. Все расчеты будем вести в таблице 4.2.
Рисунок 4.12 – Расчетная схема фермы |
Рисунок 4.13 – Определение опорных реакций |
Таблица 4.2 – Результаты расчета фермы
Наименование стержня |
li,м |
Аi |
Nрi, кН |
Ni |
(Ni ×Nрi ×li/(ЕiАi) |
1-2 |
3 |
1.5Д |
−20 |
−0.5 |
20 / ЕА |
1-4 |
4 |
А |
0 |
0 |
0 |
2-3 |
4 |
А |
−13.33 |
−0.67 |
35.57 / ЕА |
2-4 |
5 |
А |
16.67 |
0.83 |
69.42 / ЕА |
3-4 |
3 |
1.5А |
-го |
0 |
0 |
3-6 |
4 |
А |
−13.33 |
−0.67 |
35.57 / ЕА |
4-6 |
5 |
А |
16.67 |
0.83 |
69.42 / ЕА |
5-6 |
3 |
1.5А |
−20 |
−0.5 |
20 / ЕА |
4-5 |
4 |
А |
0 |
0 |
0 |
|
− |
− |
− |
− |
249.98 / ЕА |