4. Потенциальная энергия

Р ассмотрим перемещение тела в поле силы тяжести по произвольной траектории (рис. 7.2). Определим работу силы тяжести как интеграл от скалярного произведения вектора силы тяжести на перемещение .

Как видно из рисунка, проекция элементарного вектора перемещения на направление силы тяжести равна уменьшению высоты тела над Землей . Тогда работа силы тяжести после взятия интеграла будет равна

. (7.10)

Работа в поле тяжести, оказывается, равна разности значений некоторого параметра, который не зависит от формы траектории. Этот интеграл движения называют потенциальной энергией

. (7.11)

Высота тела отсчитывается от некоторого, взятого произвольно, горизонтального уровня отсчета, так как при решении задач механики важно знать не абсолютное значение потенциальной энергии, а её изменение. Формула справедлива в области небольших, по сравнению с радиусом Земли, высот, пока ускорение свободного падения можно считать постоянным. Знак минус означает, что положительная работа совершается за счет уменьшения потенциальной энергии.

Получим формулу потенциальной энергии упругой деформации. В случае, когда тело деформируется под воздействием внешней силы, точка приложения силы перемещается и, значит, совершается работа. Если тело упругое и форма тела после выключения внешней силы восстанавливается, то работа упругих сил обращается в нуль. Значит, упруго деформированное тело обладает потенциальной энергией. Формулу для потенциальной энергии получим, определив работу сил упругости. Пусть выполняется закон Гука , где k– коэффициент упругости, х – деформация тела. Работа равна интегралу . Отсюда получим формулу потенциальной энергии упругой деформации

. (7.12)

Кроме поля тяжести работа сил поля не зависит от формы траектории и в других силовых полях. Например, в электростатическом поле, гравитационном поле. Такие поля называют потенциальными. При перемещении тела по замкнутой траектории, когда тело возвращается в исходную точку, работа в потенциальном поле равна нулю: . (Интеграл от силы по замкнутой траектории называется циркуляцией вектора силы).

Силы, работа которых не зависит от формы траектории, называют консервативными. В механике это силы тяжести, гравитационные силы, силы упругости.

Между силой и потенциальной энергией существует связь. Пусть тело перемещается вдоль линии действия силы на элементарное расстояние. Работа силы совершается за счет убыли потенциальной энергии: . Отсюда следует, что сила равна производной от потенциальной энергии по координате, направленной по линии действия силы, и взятой с обратным знаком

. (7.13)

Эта производная называется градиентом потенциальной энергии. То есть консервативная сила равна градиенту потенциальной энергии, взятому с обратным знаком .

5. Закон сохранения энергии

Рассмотрим замкнутую систему тел, в которой действуют консервативные силы. Под действием сил тела внутри системы перемещаются, совершается работа. Одна и та же положительная работа некоторой силы приводит к повышению кинетической энергии тела, но совершается за счет уменьшения потенциальной энергии этого тела в силовом поле других тел

и . (7.14)

Отсюда следует, что работа есть мера превращения энергии одного вида в другой вид. Приравняем правые части уравнений (7.14) и получим, что сумма кинетической и потенциальной энергии тела в состоянии «1» такая же, как в состоянии «2»: , и вообще, в любом другом состоянии постоянна

(7.15)

Сумму кинетической и потенциальной энергий называют механической энергией. Если механическая энергия сохраняется для любого тела, то она сохраняется для всех тел замкнутой системы. Отсюда следует закон сохранения и превращения механической энергии: в замкнутой системе тел, между которыми действуют консервативные силы, механическая энергия постоянна.

В отличие от консервативных сил существуют так называемые диссипативные силы, работа которых приводит к диссипации (рассеянию) механической энергии. Диссипативными силами являются сила трения скольжения, силы вязкого трения между слоями при пластической деформации тел. Если в системе тел существуют диссипативные силы, то работа этих сил отрицательна на любом участке траектории, так как перемещение и сила всегда направлены противоположно. По теореме о кинетической энергии работа диссипативных сил равна уменьшению кинетической энергии. Но работа диссипативных сил не может изменить потенциальную энергию. Значит частично или полностью кинетическая энергия должна превратиться в эквивалентное количество другого вида энергии. Это внутренняя энергия. Например, при движении под действием силы трения скольжения кинетическая энергия тела как целого превращается в кинетическую энергию хаотического движения молекул тела, то есть во внутреннюю энергию.

Экспериментально в многочисленных опытах установлено, что в замкнутой системе тел полная энергия, равная сумме механической и внутренней энергий постоянна

. (7.16)

Это выражение закона сохранения и превращения полной энергии. Из закона следует, что при любых процессах внутри замкнутой системы тел различные виды энергии могут в эквивалентных количествах превращаться друг в друга, но их сумма постоянна. Энергия не создается и не уничтожается.

Из закона следует, что увеличение внутренней энергии равно уменьшению механической энергии системы тел, которое, в свою очередь, равно работе диссипативных сил:

. (7.17)

Закон сохранения полной энергии является фундаментальным законом природы, может самым важным. Он применим не только в механике, но и в любых процессах, протекающих в природе. Сомнения в выполнении закона сохранения энергии в истории науки были, (явление радиоактивности, открытие нейтрино) но в итоге явлений, в которых бы не сохранялась полная энергии, не обнаружено. В истории техники известно немало проектов создания вечного двигателя. Это машины, которые без поступления энергии извне могли бы сколь угодно долго совершать механическую работу. Закон сохранения энергии не позволил осуществиться этим проектам, сколь бы хитроумными они не были.

Задачи

1. Определить мощность, которую отдает электровоз в контактную сеть при рекуперативном движении с постоянной скоростью на спуске с уклоном 0,005. Масса поезда 2000 т, коэффициент сопротивления 0,002.

2. Определить расстояние, которое пройдет поезд массой 2500 т при коэффициенте сопротивления 0,004, если использовано 100 кг дизельного топлива с теплотворной способностью 46,1 МДж/кг. КПД двигателя 28 %.

3 . Определить теплоту, выделенную поездом массой 2000 т в режиме торможения (рис.7.3) на подъеме пути с уклоном 0,002. Определить коэффициент сцепления колес с рельсами.

4. Локомотив при мощности тяговых двигателей 6 МВт может везти поезд массой 2000 т по подъему со скоростью 36 км/час, а вниз со скоростью 54 км/час. Определить уклон пути и коэффициент сопротивления при качении колес.

5. Локомотив поочередно приводит в движение вагоны, растягивая их автосцепки. Пусть зависимость результирующей силы тяги и сопротивления от числа начавших движение вагонов имеет вид (рис.7.4). Определить максимальную массу состава, которую может везти локомотив, определить величину ускорения. Деформация автосцепки не превышает 5 см, масса вагона 50 т.

6. Определить, преодолеет ли подъем с уклоном 0,005 и длиной 5 км вагон массой 20 т. Начальная скорость 25 м/с. Определить величину и направление силы сцепления колес с рельсами. Коэффициент сопротивления качению 0,002.

7. Локомотив в режиме равномерного движения с постоянной мощностью везет состав из 20 вагонов со скоростью 20 м/с. Определить наибольшую скорость поезда, если два последних вагона отцепятся.