2.2. Стереографическая проекция

За плоскость стереографической проекции Q выбираем экваториальную плоскость, на которую сфера проектируется в виде круга проекции. В одном из полюсов этого круга помещается точка зрения («глазная точка») S.

Чтобы спроектировать прямую ОА, проводим линию АS от полюсной точки А этого направления на сфере проекций до точки зрения S. Точка «а» пересечения линии АS с кругом проекций и стереографическая проекция и является стереографической проекцией направления ОА (рис. 15).

Чтобы не загружать чертеж, обычно проектируются только пересечения линий с верхним полушарием сферы.

Стереографические проекции направления изображаются точками внутри круга проекций, причем вертикальное направление проектируется как точка в центре круга проекций, горизонтальное – как два выхода на окружность экватора.

Для нахождения стереографической проекции плоскости R необходимо перенести плоскость параллельно самой себе в центре проекций, затем продлить плоскость до пересечения её со сферой проекции. В результате пересечения на сфере получается дуга большого круга a,b,d. После соединения всех точек этой окружности с точкой зрения S, образуется проекционный конус из лучей зрения Sа, Sв, Sd. Результат пересечения проектирующего конуса с плоскостью проекций Q соответствует стереографической проекции заданной плоскости (рис. 16).

Стереографические проекции горизонтальных плоскостей совпадают с окружностями круга проекций, проекции вертикальных плоскостей – с диаметром круга проекций, а проекции наклонных плоскостей изображают дугами, опирающимися на концы диаметра (рис. 17).

Стереографические проекции применяются главным образом для изображения комплекса элементов симметрии кристалла.

Стереографические проекции характеризуются двумя наиболее важными свойствами:

Любая окружность, проведенная на сфере, изображается на стереографической проекции также окружностью (в частном случае прямой линией);

На стереографической проекции не искажаются угловые соотношения. Угол между полюсами граней на сфере (измеренный по дугам больших кругов) равен углу между стереографическими проекциями тех же дуг.

Р

S

ис. 15. Принцип построения стереографической проекции

Рис. 16. Построение стереографической проекции a, b, d плоскости R

Рис.17 Стереографические проекции плоскостей, ориентированных:

а – перпендикулярно плоскости проекции

б – в плоскости проекции

в – под косым углом к плоскости проекции

2.3. Гномостреографическая проекция

Гномостереографическую проекцию применяют чаще всего для изображения кристаллических многогранников. При этом проектируют не многогранник, а его полярный комплекс.

Плоскостью гномостереографической проекции служит та же экваториальная плоскость сферы проекций, как и для стереографической проекции. Для построения гномостереографической проекции кристалла надо на все его грани опустить перпендикуляры и продолжить их до пересечения с поверхностью сферы проекций, описанной вокруг центра тяжести кристалла и дающие возможность провести линию, соединяющую полюсные точки с точкой зрения (рис. 18).

Нормали к граням, пересекающие шар проекции в верхней полусфере, проектируются внутри круга проекций (нормаль ОА, ОС) (рис.18, а). Нормали, пересекающие шар проекций в нижней полусфере, проектируются вне этого круга (нормаль ОВ (рис.14, б)).

Неудобство построения заставляет переносить для таких нормалей точку зрения в северный полюс сферы. В этом случае и проекции нижних граней окажутся внутри круга проекций. Чтобы отличить друг от друга проекции нормалей к верхним и нижним граням, первые обозначают кружками, вторые – крестиками (рис.18, б).

Гномостереографические проекции направлений (ребер кристалла) изображают так же, как нормали к граням.

Комплекс граней, нормали к которым лежат в одной плоскости, образует зону проекций граней, принадлежащих одной зоне, располагается на одной дуге большого круга.

а б

Рис. 18. построение гномостереографической проекции граней В,С,Д кристалла : а – принцип построения проекции, б – изображение проекций граней