1.8. Определение символов граней и направлений по методу косинусов в кубической решетке

Положение любой грани кристалла (hkl) (или плоскости в решетке) определяется углами, которые составляют нормаль к этой грани с осями координат. Плоскость АВС отсекает на осях координат отрезки ОА, ОВ, ОС (рис. 12).

Из начала координат опущен перпендикуляр на плоскость АВС. Нормаль ОР образует с осями координат углы γ, χ, ψ.

Из чертежа вытекает, что

ОА=ОР/cos γ ; ОВ=ОР/ АВАА А cos χ; ОС=ОР/ cos ψ.

Рис. 12. К выводу соотношения между индексами и направляющими косинусами грани

Если ОА= m, ОВ= n, ОС=р, то

(1/ m): (1/n): (1/p)= h:k:l

С другой стороны

(1/ОА):(1/ОВ):(1/ОС)= (cos γ/ОР): АВА(cos χ/ОР): (cos ψ/ОР)=

=cos γ АВАА А: cos χ: cos ψ

В результате, для кубических кристаллов

h:k:l= cos γ АВАА А: cos χ: cos ψ, то есть составив отношения направляющих косинусов легко получить символ грани.

Символ направлений связан с направляющими косинусами соотношением u: v: w= cos γ АВАА А: cos χ: cos ψ, в котором углы γ АВАА А, χ, ψ между соответствующими кристаллографическими осями и направлением.

1.9. Связь между символами плоскостей и направлений в кристаллах

Ось зоны

Символы плоскости (hkl) и расположенного а нем ряда (направления) [uvw] связаны между собой зависимостью:

hu + kv + lw = 0, (1)

которую выводят из уравнения плоскости и прямой, лежащей в этой плоскости.

Уравнение (1) помогает найти символ ребра, по которому пересекаются две грани и, наоборот, можно найти символ грани, находящейся между двумя ребрами:

Найти символ ребра [uvw], по которому перекаются две грани (h₁ k₁ l₁ ) и (h₂ k₂ l₂ ). Для этого надо решить совместно уравнения:

h₁u+k₁v+ l₁ w=0

h₂ u+ k₂ v+ l₂ w=0

решением этой системы уравнений являются детерминанты

А отношение детерминантов дает символ грани

Детерминанты уравнения раскрывают следующим образом: выписывают индексы h₁ k₁ l₁ и h₂ k₂ l₂ в двух строках, повторяя их по два раза, затем откинув правые и левые столбцы , производят перекрестное умножение и берут разность полученных произведений по схеме :

; ; .

Пример:

Даны грани (320) и (110). Найти символ ребра, по которому они пересекаются.

Решение:

Ответ: символ ребра равен [001]

Если написать символы плоскостей в другом порядке:

то индексы ребра будут иметь значения . Символы [001] и определяют один и тот же ряд в решетке.

Грани кристалла, пересекающиеся по параллельным ребрам, образуют пояс или зону, а общее направление этих ребер называется осью зоны. Символ [uvw] характеризует ось зоны. Пояс называется законченным или первичным, если все входящие в него грани пересекаются друг с другом и дают на кристалле действительные ребра. Пояс называется незаконченным, если некоторые из его граней пересекаются лишь при своем продолжении, по ребрам, на кристалле не присутствующим, но возможным для него при ином развитии граней.

Существуют положения, которые известны в кристаллографии под именем «закона поясов»:

1) всякая плоскость, параллельная двум действительным или возможным ребрам кристалла, является действительной или возможной гранью кристалла;

2)всякое направление, параллельное линии пересечения двух действительных или возможных граней кристалла, всегда является действительным или возможным ребром кристалла.