3.3. Изображение элементов симметрии на плоскости стереографической проекции
Для обозначения симметрических преобразований и соответствующих элементов симметрии в кристаллографии пользуются условными символами, в которых наиболее распространены две нижеприведенных системы обозначений.
Таблица 2
Обозначение элементов симметрии
название |
обозначение |
Изображение по отношению к плоскости
|
||
символ |
симметрия |
перпендикулярное |
параллельное |
|
Плоскость симметрии |
M |
P |
|
|
Центр симметрии |
-1 |
C |
|
|
Поворотная ось симметрии |
n |
Ln |
|
|
двойная |
2 |
L2 |
|
|
тройная |
3 |
L3 |
|
|
четверная |
4 |
L4 |
|
|
шестерная |
6 |
L6 |
|
|
Инверсионная ось симметрии |
-n |
L-n=L ni |
|
|
тройная |
-3 |
L-3=L3i |
|
|
четверная |
-4 |
L-4=L4i |
|
|
шестерная |
-6 |
L-6=L6i |
|
|
В табл. 2 показаны: Международная символика принятая международным союзом кристаллографов, а также здесь даны международные условные изображения элементов симметрии на плоскости стереографической проекции.
Рис.33. стереографические проекции некоторых осей симметрии куба
В случае стереографической проекции оси симметрии проектируются подобно нормалям к граням.
Вертикальные оси изображаются в центре круга проекций, а оси, наклонные к плоскости проекций, проектируются внутри круга проекций (рис. 33).
При проектировании плоскостей симметрии куба соблюдают следующие условия:
Вертикальная ось симметрии проектируется в виде прямой (двойной) линии, являющейся одним из диаметров круга проекций; горизонтальная плоскость, совпадает с плоскостью чертежа, представляется кругом проекций; проекция наклонной плоскости является дугой (рис34).
а б в
Рис.34. некоторые плоскости симметрии куба и их стереографические проекции. а – плоскость симметрии расположена под углом к плоскости проекции; б- горизонтальная плоскость симметрии; в – вертикальная плоскость
Рис.35 Элементы симметрии прямоугольного параллелепипеда (а) и их
стереографическая проекция (б)
3.4. Теоремы сложения элементов симметрии
Основные законы сочетаний элементов симметрии кристаллических многогранников (конечных фигур) обычно формируются в виде совокупности теорем сложения элементов симметрии. В этих теоремах даны два элемента симметрии. Необходимо найти какие новые элементы при этом возникают.
ТЕОРЕМА 1. Линия пересечения двух плоскостей симметрии является осью симметрии, причем угол поворота вокруг этой оси вдвое больше угла между плоскостями.
ТЕОРЕМА 2. Точка пересечения четной оси симметрии с перпендикулярной ей плоскостью симметрии есть центр симметрии (центр инверсии)
Зная эту теорему, можно сделать некоторые важные практические выводы:
Если при исследовании кристаллического многогранника найдены два элемента симметрии из трех (ось симметрии четного порядка, перпендикулярная к ней плоскость, центр инверсий), то обязательно нужно найти недостающий элемент симметрии;
При наличии центра инверсии количество четных осей симметрии равно числу плоскостей симметрии.
ТЕОРЕМА 3. Если есть ось симметрии порядка «n» и перпендикулярно этой оси проходит ось второго порядка, то всего содержится «n» осей 2го порядка, перпендикулярных оси n-го порядка. Например, в гексагональной дипирамиде, (рис 36) шесть осей второго порядка проходят через вершины и середины сторон шестиугольника дипирамиды, а главная ось фигуры L6 перпендикулярна всем осям второго порядка, и всего есть 6L2 перпендикулярных L6.
Рис.36. Положение осей L2 и L6 в дипирамиде
ТЕОРЕМА 4. Если есть ось симметрии n го порядка, и вдоль нее проходит плоскость симметрии, то всего через эту ось будет проходить «n» таких плоскостей.
В самом деле, на данном рисунке видно, вдоль оси L6 пересекается шесть плоскостей симметрии.
ТЕОРЕМА 5. (выведена впервые русским математиком Леонардом Эйлером, и носит его имя).
Через точку пересечения двух осей симметрии проходит третья ось симметрии.