Тема 3:

Cлучайная величина Х распределена по нормальному закону с математическим ожиданием а  и средним квадратическим отклонением . Найти: а) вероятность попадания случайной величины в интервал (х₁; х₂);

б) величину интервала , в который с заданной вероятностью Р попадает значение случайной величины Х: .

Решение (1):

а) Вероятность того, что значение случайной величины Х попадет в интервал (α, β) находится по формуле ,

где Ф(х) – интегральная функция Лапласа.

В нашем случае, вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (3; 9) равна = Ф(2) – Ф(–1).

Учитывая что функция Ф(х) является Нечетной, т.е. Ф(–х) = – Ф(х) по таблице значений интегральной функции Лапласа находим: Ф(2) = 0,47725 и Ф(–1) = – Ф(1) = –0,34134, тогда = 0,47725 + 0,34134 = 0,81859.

б) Вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины X от ее математического ожидания меньше некоторого малого положительного числа δ равна

, где Ф(х) – интегральная функция Лапласа.

По условию задачи

По таблице значений интегральной функции Лапласа находим, что

= 1,29, следовательно  = 1,29 = 1,292 = 2,58.

Решение (2):

а) Вероятность того, что значение случайной величины Х попадет в интервал (α, β) находится по формуле ,

где Ф(х) – интегральная функция Лапласа.

В нашем случае, вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (0; 7) равна = Ф(1,33) – Ф(–1).

Учитывая что функция Ф(х) является Нечетной, т.е. Ф(–х) = – Ф(х) по таблице значений интегральной функции Лапласа находим: Ф(1,33) = 0,40824 и Ф(–1) = – Ф(1) = –0,34134, тогда = 0,40824 + 0,34134 = 0,74958.

б) Вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины X от ее математического ожидания меньше некоторого малого положительного числа δ равна

, где Ф(х) – интегральная функция Лапласа.

По условию задачи

По таблице значений интегральной функции Лапласа находим, что

= 1,65, следовательно  = 1,65 = 1,653 = 4,95.

Решение (3):

а) Вероятность того, что значение случайной величины Х попадет в интервал (α, β) находится по формуле ,

где Ф(х) – интегральная функция Лапласа.

В нашем случае, вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (–2; 2) равна = Ф(1) – Ф(–3).

Учитывая что функция Ф(х) является Нечетной, т.е. Ф(–х) = – Ф(х) по таблице значений интегральной функции Лапласа находим: Ф(1) = 0,34134 и Ф(–3) = – Ф(3) = –0,49865, тогда = 0,34134 + 0,49865= 0,84.

б) Вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины X от ее математического ожидания меньше некоторого малого положительного числа δ равна

, где Ф(х) – интегральная функция Лапласа.

По условию задачи

По таблице значений интегральной функции Лапласа находим, что

= 1,96, следовательно  = 1,96 = 1,961 = 1,96.

Решение (4):

а) Вероятность того, что значение случайной величины Х попадет в интервал (α, β) находится по формуле ,

где Ф(х) – интегральная функция Лапласа.

В нашем случае, вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (–3; 0) равна = Ф(1) – Ф(0,25).

По таблице значений интегральной функции Лапласа находим: Ф(1) = 0,34134 и Ф(0,25) = 0,09871, тогда = 0,34134 – 0,09871= 0,24263.

б) Вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины X от ее математического ожидания меньше некоторого малого положительного числа δ равна

, где Ф(х) – интегральная функция Лапласа.

По условию задачи

По таблице значений интегральной функции Лапласа находим, что

= 1,04, следовательно  = 1,04 = 1,044 = 4,16.

Решение (5):

а) Вероятность того, что значение случайной величины Х попадет в интервал (α, β) находится по формуле ,

где Ф(х) – интегральная функция Лапласа.

В нашем случае, вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (–3; 1) равна = Ф(0,5) – Ф(–3).

Учитывая что функция Ф(х) является Нечетной, т.е. Ф(–х) = – Ф(х) по таблице значений интегральной функции Лапласа находим: Ф(0,5) = 0,19146 и Ф(–3) = – Ф(3) = –0,49865, тогда = 0,19146 + 0,49865= 0,69011.

б) Вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины X от ее математического ожидания меньше некоторого малого положительного числа δ равна

, где Ф(х) – интегральная функция Лапласа.

По условию задачи

По таблице значений интегральной функции Лапласа находим, что

= 2,81, следовательно  = 2,81 = 2,812 = 5,62.

Решение (6):

а) Вероятность того, что значение случайной величины Х попадет в интервал (α, β) находится по формуле ,

где Ф(х) – интегральная функция Лапласа.

В нашем случае, вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (6; 17) равна = Ф(1,2) – Ф(–1).

Учитывая что функция Ф(х) является Нечетной, т.е. Ф(–х) = – Ф(х) по таблице значений интегральной функции Лапласа находим: Ф(1,2) = 0,38493 и Ф(–1) = – Ф(1) = –0,34134, тогда = 0,38493 + 0,34134 = 0,72627.

б) Вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины X от ее математического ожидания меньше некоторого малого положительного числа δ равна

, где Ф(х) – интегральная функция Лапласа.

По условию задачи

По таблице значений интегральной функции Лапласа находим, что

= 0,84, следовательно  = 0,84 = 0,845 = 4,2

Решение (7):

а) Вероятность того, что значение случайной величины Х попадет в интервал (α, β) находится по формуле ,

где Ф(х) – интегральная функция Лапласа.

В нашем случае, вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (10; 12) равна = Ф(–2) – Ф(–6).

Учитывая что функция Ф(х) является Нечетной, т.е. Ф(–х) = – Ф(х) по таблице значений интегральной функции Лапласа находим: Ф(–2) = –0,47725 и Ф(–6) = – Ф(6) = –0,5, тогда = –0,47725 + 0,5= 0,02275.

б) Вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины X от ее математического ожидания меньше некоторого малого положительного числа δ равна

, где Ф(х) – интегральная функция Лапласа.

По условию задачи

По таблице значений интегральной функции Лапласа находим, что

= 1,29, следовательно  = 1,29 = 1,290,5 = 0,645.

Решение (8):

а) Вероятность того, что значение случайной величины Х попадет в интервал (α, β) находится по формуле ,

где Ф(х) – интегральная функция Лапласа.

В нашем случае, вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (11; 15) равна

= Ф(1,67) – Ф(0,33).

По таблице значений интегральной функции Лапласа находим:

Ф(1,67) = 0,45254 и Ф(0,33) = 0,1293, тогда = 0,45254 – 0,1293= 0,32324.

б) Вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины X от ее математического ожидания меньше некоторого малого положительного числа δ равна

, где Ф(х) – интегральная функция Лапласа.

По условию задачи

По таблице значений интегральной функции Лапласа находим, что

= 1,04, следовательно  = 1,04 = 1,043 = 3,12.

Решение (9):

а) Вероятность того, что значение случайной величины Х попадет в интервал (α, β) находится по формуле ,

где Ф(х) – интегральная функция Лапласа.

В нашем случае, вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (7; 10) равна = Ф(2) – Ф(–1).

Учитывая что функция Ф(х) является Нечетной, т.е. Ф(–х) = – Ф(х) по таблице значений интегральной функции Лапласа находим: Ф(2) = 0,47725 и Ф(–1) = – Ф(1) = –0,34134, тогда = 0,47725 + 0,34134 = 0,81859.

б) Вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины X от ее математического ожидания меньше некоторого малого положительного числа δ равна

, где Ф(х) – интегральная функция Лапласа.

По условию задачи

По таблице значений интегральной функции Лапласа находим, что

= 2,58, следовательно  = 2,58 = 2,581 = 2,58.

Решение (10):

а) Вероятность того, что значение случайной величины Х попадет в интервал (α, β) находится по формуле ,

где Ф(х) – интегральная функция Лапласа.

В нашем случае, вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (–6; –3) равна

= Ф(0,67) – Ф(–1,33).

Учитывая что функция Ф(х) является Нечетной, т.е. Ф(–х) = – Ф(х) по таблице значений интегральной функции Лапласа находим: Ф(0,67) = 0,24857 и

Ф(–1,33) = – Ф(1,33) = –0,40824, тогда = 0,24857 + 0,40824 = 0,65681.

б) Вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины X от ее математического ожидания меньше некоторого малого положительного числа δ равна

, где Ф(х) – интегральная функция Лапласа.

По условию задачи

По таблице значений интегральной функции Лапласа находим, что

= 1,96, следовательно  = 1,96 = 1,961,5 = 2,94.