Лекции по физике

системы, (и в данном случае внешних тел нет), то эта энергия является энергией взаимодействия.

Полезно убедиться, что (24) и (26) переходят в (21) и (24), при ограничении (23):

6. Закон сохранения энергии для системы N тел.

Суммарная кинетическая всех тел системы равна сумме кинетических энергий всех тел:

Если система не замкнута, то на некоторые тела системы действуют внешние силы. Они могут быть как консервативными, так и неконсервативными. Работа консервативных внешних сил может быть выражена через потенциальную энергию этих тел:

Далее для сокращения написания будет указываться у выражений сумм только нижний индекс, по которому ведется суммирование.

Между телами системы также могут действовать различные силы. Работа консервативных сил взаимодействия может быть выражена через потенциальную энергию взаимодействия:

Следует пояснить двойное суммирование. Во-первых, при суммировании пропускаются все слагаемые с одинаковыми индексами (тело само с собой не взаимодействует). Коэффициент одна вторая поставлен из-за двойного учета одного и того же члена при суммировании по двум индексам. Понятней всего это пояснить на простом примере:

ååank = å(an1 + an2 + an2 ) = åan1 + åan2 + åan3 = a21 + a23 + a12 + a32 + a13 + a23 n k n n n n

Из приведенного выражения хорошо видно, что мы дважды учитываем взаимодействие между каждой парой тел (например, a12 и a21).

Сумма трех первых члена (24) есть полная механическая энергия системы взаимодействующих тел. Приращение полной механической энергии равно работе всех неконсервативных сил, как внешних, так и действующих между телами системы. Если неконсервативных сил нет, то полная энергия сохраняется:

Закон сохранения энергии для замкнутой системы отличается только тем, что не будет членов с энергией в поле внешних сил:

Последнее важное замечание. Все выше изложенное верно для точечных тел или когда все тела системы двигаются поступательно. В противном случае необходимо учитывать кинетическую энергию вращения тел.

7. Закон сохранения импульса.

Рассмотрим систему N тел. Написав для каждого тела можно уравнение движения, получим систему N связанных уравнений:

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

использованы для описания взаимодействия макроскопических твердых тел. В конце я приведу примеры таких задач.

1.Абсолютно упругое столкновение. При таком столкновении сохраняется не только суммарный импульс, но суммарная кинетическая энергия частиц.

2.Абсолютно неупругое столкновение. Суммарный импульс сохраняется при любом столкновении. Механическая энергия не сохраняется. При таком столкновении частицы «слипаются» и продолжают двигаться как единое целое.

3.Реальное столкновение. Первый вид столкновения является некоторым приближением. При реальных столкновениях практически всегда механическая энергия изменяется. Причем она не всегда уменьшается, переходя в другие формы энергии. Бывают столкновения, при которых внутренняя энергия какой либо частицы переходит в кинетическую энергию движения частиц. Но с этим вы познакомитесь только в пятом семестре. Когда изменением энергии можно пренебречь, мы и имеем первый вид столкновения.

11. Центральное столкновение двух частиц.

Прежде всего, определимся, что понимается под названием центральное столкновение. Ниже под этим определением понимается такое столкновение, когда в С-системе частицы двигаются по одной прямой навстречу друг другу. После столкновения импульсы частиц направлены по той же прямой. В лабораторной системе частицы могут двигаться под углом, но так, чтобы они столкнулись. И второе важное замечание. Не надо под столкновением частиц понимать непосредственное их столкновение, за исключением случая, когда образуется одна частица из двух. Например, заряженные частицы одноименным зарядом, летящие навстречу, после сближения до определенного расстояния начинают разлетаться.

При взаимодействиях на расстоянии под начальными и конечными скоростями следует понимать скорости на достаточно больших расстояниях, когда потенциальной энергией взаимодействия можно пренебречь.

Начнем с самого простого случая: абсолютно неупругого столкновения. В С-системе обе частицы с равными по модулю импульсами двигаются навстречу друг другу. После столкновения они «слипаются» и могут двигаться как единое целое, то есть с одной и той же скоростью. Но эта скорость в С-системе должна быть равна нулю, иначе суммарный импульс не сохраниться. До столкновения он был равен нулю по определению С-системы. Следовательно, в лабораторной системе отсчета образовавшаяся частица массой mΣ = m1 + m2

будет двигаться со скоростью системы центра масс (38):

Таким образом, в системе полная кинетическая энергия уменьшается на величину пропорциональной приведенной массе частиц и квадрату их относительной скорости. Какую скорость писать на первом месте безразлично, так как важна модуль разности. В частном

случае движения частиц по одной прямой в лабораторной системе в скобках будет стоять сумма модулей скоростей, если частицы двигаются навстречу, и их разность, если одна частица догоняет другую.

Абсолютно упругое столкновение. Воспользуемся формулами полученными, в первом

Начальные скорости до столкновения в лабораторной системе и массы частиц, естественно заданы. Так как сохраняется суммарный импульс (равный нулю), то после столкновения

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

импульсы будут равны по модулю и противоположны по направлению. А так как сохраняется и суммарная кинетическая энергия, то модули импульсов останутся такими же. Поясню это:

Штрихом помечены величины после столкновения.

Следовательно, импульсы частиц после столкновения просто будут противоположны по знаку импульсам частиц до столкновения. Найдем скорость первой частицы после столкновения: в С-системе:

Чтобы получить искомую скорость после столкновения в лабораторной, то есть в исходной системе отсчета, надо к последнему выражению добавить скорость центра масс:

Всегда полезно посмотреть предельные случаи, ответ на которые вы знаете. Из школьного курса известно, что при столкновении первой частицы с покоящейся такой же по массе частицей, они обмениваются скоростями. Если при выводе не сделаны глупые ошибки, то из полученных формул должен следовать такой же ответ. Подставляя m = m1 = m2 и v2 = 0 ,

получим: v1 = 0 и v2¢ = v1 . Если 1- груженый самосвал, 2-раззява, то получим (при m1 ? m2 , v1 ? v2 ): v1¢ » v¢2 » v1 , что вполне согласуется со здравым смыслом.

Реальное столкновение. Этот вид столкновения не входит в нашу программу. Поэтому я только намечу путь решения. Надо по другому написать закон сохранения полной энергии в системе центра масс:

Из которого находим модуль импульса частиц после столкновения:

Где n – единичный вектор, направленный по направлению скорости первой частицы в С-

энергии переходит в другие формы энергии. Равенство нулю подкоренного выражения означает абсолютно неупругое столкновение. Это максимально большая убыль механической энергии. Далее вывод окончательных выражений аналогичен предыдущему.

В заключение приведу обещанный пример на макроскопические тела. Предположим, что на абсолютно гладкой горизонтальной поверхности покоится длинный брусок, или попросту доска, на которой находится маленькая шайба. Между доской и шайбой есть трение. Шайбе сообщили скорость вдоль доски. Если шайба не соскочит с доски, то этот вариант соответствует абсолютно неупругому столкновению. Если - соскочит, то это последние не до конца рассмотренное реальное столкновение. E равно абсолютной величине работе сил трения. Я и не доводил решение до конца, чтобы при решении таких задач вы не пользовались готовыми формулами, а колупались с каждой отдельно.

ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ СИЛ

1. Уравнения движения.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

В этой лекции мы рассмотрим движение тела в гравитационном поле другого тела. Мы будем предполагать, что масса тела, создающего это поле несравнимо велика по сравнению с массой движущегося тела. В этом приближении можно считать, что центр масс системы двух тел практически совпадает с центром тяжелого тела. Кроме этого предположим, что тела находятся на расстоянии друг от друга много больших их размеров. Тогда мы сможем использовать закон всемирного тяготения Ньютона для точечных тел. Сделанные

предположения с очень хорошей точностью выполняются для рассмотрения движения планет и других объектов (комет, астероидов) вокруг Солнца. Эта одна из немногих «живых» задач для «реальных» тел, а то весь семестр мы рассматриваем движение каких-то шариков, кубиков, которые заменяются материальными точками.

Приведу полученную в самом конце лекции по КИНЕМАТИКЕ формулу для ускорения в

по оси z отсутствуют, то тело при движении все время будет находиться в этой плоскости. Переобоначив R на r , напишем два уравнения движения в проекциях на орты er и eϕ :

m(&&r - rϕ/&2 ) = -G Mm

r2 (62)

m(rϕ&&+ 2ϕ/&&r) = 0

Постановка физической задачи окончена. Осталась выполнить интегрирование системы уравнений. Мы этого делать не будем. На четвертом семестре эта задача будет решена в аналитической механике, первом курсе по теоретической физике. Решение по всем правилам для вас будет сложно, а «упрощенное» решение вредно. Труднее всего не учить, а переучивать. Мы остановимся только на качественном анализе движения.

Поле центральных сил является полем консервативных сил. Следовательно, должна сохраняться полная механическая энергия системы. Сила в каждой точке направлена против радиус-вектора. Следовательно, должен сохраняться момент импульса тела m относительно начала координат. Таким образом, мы можем написать два уравнения законов сохранения:

m[rv] = M0

Второе уравнение приведем к скалярной форме:

m[er r,(er r&+ eϕ rϕ/&)] = mr2ϕ/&[ereϕ ] = mr2ϕ/&ez = M0ez Þ mr2ϕ/& = M0 .

В первом уравнении квадрат скорости представим как сумму квадратов v2 = r&2 + r2ϕ/&2 , и ϕ/&2 заменим из предыдущего равенства. В результате получим:

Разность двух последних члена в левой части равенства (64) можно

рассматривать как эффективную потенциальную энергию для движения частицы по радиус-вектору. Качественно ее вид представлен на рисунке, на котором показаны два разных значения E0 . Значения минимального и максимального расстояний, на

которые планета приближается к Солнцу, находятся из решения

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

При E0 < 0 траектория движения в общем случае будет эллипсом. При E0 ³ 0 тело сможет

преодолеть притяжение и уйти в мировое пространство. При нулевой энергии его скорость на бесконечно большом удалении будет стремиться к нулю. Мы рассмотрели движение по радиус-вектору, Сам радиус вектор будет поворачиваться с угловой скоростью:

ϕ/& = M0 mr2

Из последнего выражения видно, что чем меньше расстояние, тем больше его угловая скорость. На этом мы закончим обсуждение движения.

2. Законы Кеплера.

Из школьного курса вам должны быть известны три закона Кеплера, которые были получены из наблюдения. Напомню их:

1.Планеты солнечной системы двигаются по эллиптическим траекториям. Солнце находится в фокусе эллипса. (Для планет эллипсы очень близки к окружностям, для комет – нет).

2.Радиус-вектор, проведенный к планете, отметает за одинаковые промежутки равные площади.

3.Отношение кубов расстояний планет от Солнца к квадрату периода обращения для всех планет одинаково.

Теперь мы можем показать, что все законы следуют из механики Ньютона. Первый закон качественно подтвержден всем рассмотрение предыдущего параграфа. Второй закон следует из закона сохранения момента импульса. Наиболее просто это пояснить, если сделать рисунок. Так как момент импульса постоянен, то постоянен и его модуль. Модуль момента импульса можно написать в виде:

Но правая часть есть площадь изображенного на рисунке параллелограмма. Но площадь, отметаемая радиус-вектором равна половине площади параллелограмма, но последняя постоянна для любого малого интервала времени. Качественно это было понятно из того, что угловая скорость

поворота радиус-вектора растет при его уменьшении и наоборот.

В заключение рассмотрим один вопрос, на который в большинстве случаев вы даете неправильный ответ. Я задам его так, как обычно задаю студентам. Вы знаете, что бывают приливы? Практически все отвечают положительно. На вопрос, как это объяснить, все отвечают, что вода притягивается Луной и поэтому возникают приливы. Тоже на бытовом уровне правильно. А вот на вопрос периодичности большинство отвечает неправильно, так как говорят, что примерно раз в сутки. Правильный ответ, что периодичность около двух раз в сутки. Поясню это на простом примере. Пусть на орбите движется спутник, представляющий собой массивную сферическую оболочку, внутренний радиус которой равен L. Внутри находятся два маленьких шарика, распложенные на противоположных концах диаметра, направленного по радиусу орбиты. Нижний шарик двигается по орбите

радиуса

R-L, дальний по орбите R+L. Напишем условия движения по круговым орбитам для всех тел:

Угловая скорость находится из движения спутника:

ω2 = G MR3

Подставив ее в выше написанные уравнения, находим силы давления шариков на стенку спутника:

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Таким образом, в полной невесомости космонавт находится только в центре спутника. Для нижнего и верхнего оболочка будет восприниматься как пол. Но отношение L /R настолько мало, что почувствовать эту силу нельзя. Однако для развернутых солнечных батарей размером в сотню метров эти приливные силы конструкторы учитывают. Я назвал эти силы приливными, так как приливы вызываются аналогичными силами.

Земля и Луна вращаются практически по круговым орбитам вокруг их центра масс. Прилив возникает в двух областях, наиболее близкой к центру масс и наиболее далекой. Максимум приливной волны несколько отстает, то есть не находится точно под Луной. Бегущая волна пытается увлекать за собой землю в направлении движения Луны. В свою очередь замедляется скорость обращения Луны. Наступит такое время, когда мы будем видеть не только одну сторону Луны, но она будет находиться в неподвижности на нашем небе. Дай бог, чтоб она повисла над Европой.

ДВИЖЕНИЕ ТЕЛ В НЕИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ ОТСЧЕТЫ

Из преобразования Галилея для скорости

v =V0 + v′ ,

что ускорение в неподвижной системе координат (обозначения величин без штрихов), которую мы будем считать инерциальной, связано с ускорением в движущейся относительно нее (штрихованные) соотношением:

Напишем уравнение движения (2 закон Ньютона) в движущейся системе: ma′ = ma − ma0 или ma′ = F + Fin (66).

И если движущаяся система двигается с ускорением, то в ней возникают добавочные силы, называемые силами инерции Fin , в отличие от «физических» сил, возникающих при

взаимодействии тел F . Может возникнуть вопрос. Зачем переходить в такую систему, в которой в уравнении движения появляются добавочные силы (дай бог с этими справиться)? Я приведу всего лишь один убедительный пример, что такой переход более чем оправдан. Предположим мы хотим рассчитать траекторию межконтинентальной ракеты. Если вы хотите провести расчет в инерциальной системе, то надо рассматривать это движение в системе связанной с Солнцем. Но тогда придется рассчитывать и движение Земли, то есть рассматривать движение двух взаимодействующих тел, одно из которых еще и вертится. Безусловно, проще считать Землю неподвижной, но ввести при этом силы инерции.

Начнем с самого простого случая. Система K′ движется ускоренно, но движение поступательное. Тогда, согласно (2), в ней возникает сила инерции равная:

Fin = −ma0 ,

то есть направленная в противоположную сторону ее ускорению a0 .

Мы ограничимся еще одним видом движения: K′ вращается с постоянной угловой скоростью ω . Для произвольного движения K′ все выводы желающие могут посмотреть в первом томе Д.В.Сивухина.

Напомню правило дифференцирования произвольного вектора по времени (см. КИНЕМАТИКА, второй параграф):

Α& = ddtA = eA A& +[ωA] ,

Вектор угловой скорости ω перпендикулярен плоскости, в которой поворачивается вектор A и направлен по правилу правого винта. Если величина вектора не меняется, а он только поворачивается, то в последнем выражении остается только второй член. Применим это выражение для дифференцирования по времени ортов вращающейся системы:

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

«Большая» теория кончилась. Все последующее будет представлять конкретизацию применения уравнений (70) и (71) для конкретных по форме тел или конкретных типов движений. Согласно программе, мы должны разобрать: 1.Вращение тела вокруг неподвижной оси, 2.Движение тела, закрепленного в одной точке, 3.Плоское движение тела, при котором его центр масс движется в одной плоскости, а тело при этом может вращаться только относительно оси перпендикулярной плоскости движения центра масс.

2. Момент импульса твердого тела.

Напишем полученное ранее выражение для момента импульса системы материальных точек

M = åmi[rivi ]

i

Так как мы рассматриваем движение абсолютно твердого тела, а его произвольное движение можно представить, как поступательное движение центра масс (которое описывается уравнением (2)) и вращение относительно точки центра масс. Пусть в некоторый момент времени тело имеет некоторую угловую скорость ω . Для данного

момента времени введем цилиндрическую систему координат, ось z которой направим по направлению вектора угловой скорости, начало координат можно для определенности совместить с центром масс тела. Преобразуем векторное произведение для одной точки тела (такой подход освобождает от необходимости писать индекс точки):

[r v ] = [r [ωr ]] = [r[ωez ,eR R + ez z]] = [eR R + ez z,ωReϕ ] = ezωR2 − eR zωR = ωR2 − eR zωR .

С учетом полученного выражения можно написать выражение для момента импульса всего тела:

M = ωåmi Ri2 −ωåmieRi zi Ri (73).

i i

Мы видим, что в общем случае момент импульса имеет две составляющих. Одну направленную по оси z, вторую – перпендикулярную этой оси. Легко сообразить, что вторая компонента будет равна нулю, если плотность тела имеет осевую (аксиальную) симметрию, так как для каждой массы mi с координатой eRi zi Ri найдется такая же mi , но

с координатой −eRi zi Ri . Чтобы описать вращение тела надо (73) подставить в (70). Далее

мы и будем этим заниматься, начав рассмотрения с самого простого случая, когда второй член в (73) равен нулю.

3. Вращение тела вокруг неподвижной оси. Моменты инерции.

Первый член в выражении (73) представляет собой в общем виде проекцию момента импульса на ось z. Если второй член равен нулю, первый член является полным моментом импульса. Если на тело не действуют внешние силы, то оно является замкнутой системой. Как известно момент импульса замкнутой системы сохраняется. Следовательно, в этом случае и последующее время тело будет иметь тот же момент импульса, то есть ось вращения не изменит своей ориентации в пространстве, и величина угловой скорости не изменится. Сумма, стоящая в первом члене называется осевым моментом инерции:

Для того чтобы различить два случая, у обозначения момента инерции ставят один или два индекса соответствующей оси. Если рассматривается момент инерции вокруг произвольно выбранной оси (в том числе ось может проходить и вне тела), то пишут два одинаковых индекса соответствующей оси, например, Izz . Если ось вращения не меняет

ориентации в пространстве при вращении свободного тела (называется главной осью или свободной осью), то пишут только один индекс Iz . Тело произвольной формы (может

быть не однородным по плотности) обязательно имеет три взаимно перпендикулярных главных оси вращения. Доказательство выходит за рамки программы из-за математической трудности. Если все главные моменты инерции равны:

Ix = Iy = Iz ,

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com