![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Глава 9. Дифференциальные и разностные уравнения.
- •§1. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •§2. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •§3. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
- •§4. Разностные уравнения.
- •§5. Дифференциальные уравнения в частных производных.
- •Глава 10. Кратные интегралы.
- •§1. Двойной интеграл.
§2. Обыкновенные дифференциальные уравнения
высших порядков.
Уравнение
вида
,
где
-
искомая функция, называется дифференциальным
уравнением
-го
порядка.
Функция
,
обращающая уравнение в тождество,
называется решением
уравнения, а график этой функции –
интегральной
кривой. Если
решение уравнения задано в неявном виде
,
то оно называется интегралом
уравнения.
Уравнение
вида
,
называется уравнением,
разрешённым относительно старшей
производной.
Эту форму записи ДУ
-го
порядка называют нормальной.
Условия
,
,…,
,
где
,
,
,…,
- заданные числа, называются
начальными условиями. Задача
нахождения решения уравнения
,
удовлетворяющего заданным начальным
условиям, называется задачей
Коши.
Общим
решением ДУ
-го
порядка называется решение
,
зависящее от
произвольных постоянных
,
такое, из которого при надлежащем выборе
значений постоянных
можно получить решение
,
удовлетворяющее заданным начальным
условиям
,
,…,
.
Общее решение, заданное в неявном виде
,
называется общим
интегралом
уравнения.
Частным
решением ДУ
-го
порядка называется решение
,
получаемое из общего при конкретных
значениях постоянных
.
Частное решение, заданное в неявном
виде
,
называется частным
интегралом
уравнения.
Если
для искомого частного решения
уравнения
заданы начальные условия
,
,…,
и известно общее решение
уравнения, то значения
произвольных
постоянных определяются, если это
возможно, из системы уравнений
.
Уравнение
вида
называется простейшим
дифференциальным уравнением
-го
порядка. Его
общее решение находят, выполняя
последовательно
интегрирований, и записывают в виде
.
Уравнение
вида
,
,
не содержащее явно искомой функции
,
с помощью подстановки
,
где
-
новая неизвестная функция, приводится
к уравнению
порядка
.
Уравнение
вида
,
не содержащее явно независимой переменной
,
с помощью подстановки
,
где
- новая неизвестная функция от новой
независимой переменной
,
приводится к уравнению порядка на
единицу ниже. При этом
преобразуются так:
,
,…..
В задачах 9.131-9.150 найти общие решения дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка:
9.131
.
9.132
.
9.133
.
9.134
.
9.135
.
9.136
.
9.137
.
9.138
.
9.139
.
9.140
.
9.141
.
9.142
.
9.143
.
9.144
.
9.145
.
9.146
.
9.147
.
9.148
.
9.149
.
9.150
.
В задачах 9.151-9.160 найти частные решения следующих уравнений при указанных начальных условиях:
9.151
,
,
.
9.152
,
,
,
.
9.153
,
,
.
9.154
,
,
.
9.155
,
,
.
9.156
,
,
.
9.157
,
,
.
9.158
,
,
.
9.159
,
,
.
9.160
,
,
.
Функции
,
,…,
называются линейно
зависимыми на
,
если существуют постоянные
,
,…,
,
не все равные нулю, такие, что
для всех
.
Если равенство выполняется для всех
только при условии
,
то данные функции называются линейно
независимыми на
.
Определитель
называется определителем
Вронского (вронскианом).
Если
функции
,
,…,
линейно зависимы на
,
то определитель Вронского
для всех
(необходимое
условие линейной зависимости).
Если
хотя бы в одной точке
,
то функции
,
,…,
линейно независимы на
(достаточное
условие линейной независимости).
В задачах 9.161-9.170 исследовать, являются ли данные функции линейно независимыми (в каждой задаче функции рассматриваются в той области, в которой они все определены).
9.161
,
.
9.162
,
.
9.163
,
.
9.164
,
,
.
9.165
.
9.166
,
,
.
9.167
,
,
.
9.168
,
,
.
9.169
. 9.170
.
Уравнение
вида
называется линейным
дифференциальным уравнением (ЛДУ)
-го
порядка , где
коэффициенты
-
непрерывные функции или постоянные.
Если
,
то уравнение называется однородным.
Однородное линейным уравнение
-го
порядка имеет вид
.
Любая
система из
линейно независимых частных решений
,
,…,
однородного линейного уравнения
называется фундаментальной
системой
его решений.
Общее
решение однородного линейного уравнения
имеет вид
,
где
- фундаментальная система его решений;
- произвольные постоянные .
Фундаментальная
система решений
однородного ЛДУ с постоянными
коэффициентами
строится на основе характера корней
характеристического
уравнения
.
А
именно: 1)
если
- действительный простой корень
характеристического уравнения, то ему
в ФСР соответствует частное решение
дифференциального уравнения; 2)
если
- действительный корень кратности
,
то ему в ФСР соответствует
линейно независимых частных решений:
,
,
,…,
;
3)
если
- пара простых комплексно-сопряжённых
корней характеристического уравнения,
то ей в ФСР соответствует два линейно
независимых частных решения:
,
;
4)
если
- пара комплексно-сопряжённых корней
кратности
,
то ей в ФСР соответствует
линейно независимых частных решений:
,
,
,
,
,
,
.
В задачах 9.171-9.184 найти общие решения однородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:
9.171
.
9.172
.
9.173
.
9.174
.
9.175
.
9.176
.
9.177
.
9.178
.
9.179
.
9.180
.
9.181
.
9.182
.
9.183
.
9.184
.
В задачах 9.185-9.188 найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям:
9.185
,
,
.
9.186
,
,
.
9.187
,
,
.
9.188
,
,
.
Общее
решение неоднородного ЛДУ
имеет вид
,
где
- общее решение соответствующего
однородного уравнения,
- какое-нибудь частное решение данного
неоднородного уравнения.
Частное
решение
уравнения с правой частью специального
вида
ищется методом
неопределённых коэффициентов
в виде
,
где
,
если число
не является корнем характеристического
уравнения, и
равно кратности корня
в противном случае;
и
-
полные многочлены степени
с
неопределёнными коэффициентами.
Примерами полных многочленов с
неопределёнными коэффициентами степени
соответственно являются:
,
,
,
,….
Для нахождения коэффициентов многочленов
и
,
надо подставить решение
в неоднородное дифференциальное
уравнение и приравнять коэффициенты
при подобных членах в левой и правой
частях полученного равенства. В результате
получим систему уравнений, решив которую,
найдём значения коэффициентов.
Частное
решение
неоднородного ЛДУ с правой частью
равно сумме частных решений
неоднородных уравнений с той же левой
частью и правыми частями
(принцип
наложения решений).
Частное
решение
уравнения с любой правой частью
может быть найдено методом
вариации произвольных постоянных.
Для дифференциального уравнения второго
порядка
метод состоит в следующем. Если известна
фундаментальная система решений
однородного
уравнения
,
то частное решение соответствующего
неоднородного уравнения ищется в виде
,
где неизвестные функции
,
определяются из системы уравнений
.
В задачах 9.189-9.202 для каждого из неоднородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами написать общие решения уравнений (числовых значений коэффициентов в частных решениях не находить):
9.189
,
если:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
9.190
,
если:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
9.191
.
9.192
.
9.193
.
9.194
.
9.195
.
9.196
.
9.197
.
9.198
.
9.199
.
9.200
.
9.201
.
9.202
.
В задачах 9.203-9.212 для каждого из неоднородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами найти их общие решения:
9.203
.
9.204
.
9.205
.
9.206
.
9.207
.
9.208
.
9.209
.
9.210
.
9.211
.
9.212
.
В задачах 9.213-9.218 найти частные решения уравнений, удовлетворяющих указанным начальным условиям:
9.213
,
,
.
9.214
,
.
9.215
,
,
.
9.216
,
,
.
9.217
,
,
.
9.218
,
,
.
В задачах 9.219-9.228 найти общие решения неоднородных уравнений методом вариации произвольных постоянных:
9.219
.
9.220
.
9.221
.
9.222
.
9.223
.
9.224
.
9.225
.
9.226
.
9.227
.
9.228
.
В
задачах 9.229-9.244 найти
общие решения следующих дифференциальных
уравнений
-ого
порядка:
9.229
.
9.230
.
9.231
.
9.232
.
9.233
.
9.234
.
9.235
.
9.236
.
9.237
.
9.238
.
9.239
.
9.240
.
9.241
.
9.242
.
9.243
.
9.244
.