Часть 2.

1. Преобразование координат. Деление отрезка. Расстояние между двумя точками. Объем параллелепипеда. Вычисление скалярного, векторного и смешанного произведений по координатам множителей.

   Преобразование координат.

Oe₁e₂e₃ – первая система координат, Oe₁e₂e₃ – вторая система координат. Запишем координаты точки M=(x, y, z) в новых координатах. Координаты начала и базиса второй системы координат в координатах первой системы имеют вид: O=(x₀, y₀, z₀), e₁=(a₁₁, a₂₁, a₃₁), e₂=(a₁₂, a₂₂, a₃₂), e₃=(a₁₃, a₂₃, a₃₃). Тогда , где A – матрица перехода (поворот), (x₀, y₀, z₀) – параллельный перенос начала координат.

На плоскости в случае прямоугольных систем координат матрица перехода есть . Где  – угол наклона новых осей к старым.

Деление отрезка.

Точка М делит направленный отрезок АВ в отношении R, если (если М лежит внутри АВ, то >0, иначе <0).

Расстояние между двумя точками.

Расстоянием между двумя точками называется длина вектора между этими точками и равно .

Объем параллелепипеда.

Ориентированным параллелепипедом наз-ся параллелепипед, натянутый на тройку некомпланарных векторов.

Объемом ориентированного параллелепипеда наз-ся объем параллелепипеда, натянутого на тройку некомпланарных векторов, если тройка векторов правая и объем параллелепипеда со знаком минус, если тройка векторов левая.

В прямоугольной системе координат объем ориентированного параллелепипеда равен , где x, y, z – векторы, на которые натянут ориентированный параллелепипед.

Вычисление скалярного, векторного и смешанного произведений по координатам множителей.

1. Если в ортонормированном базисе векторы a и b имеют координаты (₁, ₂, ₃) и (₁, ₂, ₃), то (a, b) = ₁₁ + ₂₂ + ₃₃.

2. Если в ортонормированном базисе векторы a и b имеют координаты (₁, ₂, ₃) и (₁, ₂, ₃), то .

3. ([a, b],с) = <a, b, c> – объем ориентированного параллелепипеда, натянутого на a, b, c.

2. Основные типы уравнений прямой и плоскости. Угол между двумя прямыми. Расстояние от точки до прямой. Переход от общих уравнений к каноническим. Взаимное расположение прямой и плоскости.

Прямая:

1. Общее уравнение: Ax+By+C=0, где A, B, C – постоянные коэффициенты не равные нулю одновременно.

2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом: у=kх+b.

3. Параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку М₀=(x₀,y₀) и вектор а=(₁,₂), коллинеарный М₀М, где М – любая точка прямой: .

4. Каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М₀=(x₀,y₀) вектор а=(₁,₂), коллинеарный М₀М, где М – любая точка прямой: .

5. Нормальное уравнение: xcos+ysin-p=0  =0.

6. Уравнение прямой, проходящей через 2 точки: .

7. Общее уравнение прямой в пространстве:

Плоскость:

1. Общее уравнение: Ax+By+Cz+D=0, где A, B, C, D – постоянные коэффициенты не равные нулю одновременно.

2. Параметрическое уравнение плоскости проходящей через точку М₀=(x₀,y₀,z₀) и пару неколлинеарных векторов а=(₁,₂,₃) и b=(₁,₂,₃), компланарных М₀М, где М – любая точка плоскости: .

3. Нормальное уравнение: xcos+ycos+zcos-p=0  =0.

4. Уравнение плоскости в отрезках: – отрезки, отсекаемые на Ох, Оу, Оz.

5. Уравнение плоскости, проходящей через точку M=(x₀,y₀,z₀) перпендикулярно вектору m=(A, B, C): A(x- x₀)+B(y-у₀)+C(z-z₀)=0.

6. Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки, не лежащие на одной прямой: .

Угол между двумя прямыми.

Если прямые заданы каноническими уравнениями, то: .

Расстояние от точки до прямой.

Расстоянием от точки M₀ до прямой l называется длина перпендикуляра, опущенного из точки M₀ на прямую l. (M₀, l)=x₀cos+y₀sin-p= =0.

Взаимное расположение прямой и плоскости.

l: , : Ax+By+Cz+D=0.

1. l  Аа+Bb+Cc0.

2. l   Аа+Bb+Cc=0 и Ax₀+By₀+Cz₀+D0.

3. l  Аа+Bb+Cc=0 и Ax₀+By₀+Cz₀+D=0.

3. Приведение уравнений квадрик к каноническому виду в плоскости. Канонические уравнения эллипсоида, гиперболоидов, параболоидов.

Любое уравнение линии второго порядка может быть приведено к одному из трех видов: 1)ax²+by²+c=0; 2)ax²+2by=0; 3)ax²+c=0.

Любое уравнение поверхности второго порядка может быть приведено к одному из пяти видов: 1) ax²+by²+cz²+d=0; 2) ax²+by²+2cz=0; 3) ax²+by²+d=0; 4) ax²+2by=0; 3)ax²+d=0.

- эллипсоид;

- мнимый эллипсоид;

- однополостный гиперболоид;

- двуполостный гиперболоид;

- эллиптический параболоид;

- гиперболический параболоид;

- эллиптический цилиндр;

- мнимый эллиптический цилиндр;

- гиперболический цилиндр;

- параболический цилиндр;

- конус;

- мнимый конус;

- пара пересекающихся плоскостей;

- пара мнимых пересекающихся плоскостей;

x² = a² - пара параллельных плоскостей;

x² = -a² - пара мнимых параллельных плоскостей;

x² = 0 - пара совпадающих плоскостей.