Перестановки с повторениями

Имеется n элементов, которые можно разбить на k групп, так что элементы, входящие в одну группу не различимы между собой и отличны от элементов в другие группы. Число элементов в каждой группе равно соответственно n₁, n₂, ..., n_k, т.е.

n₁ + n₂ + … + n_k = n.

def. Перестановкой с повторениями из n элементов называется кортеж длины n, составленный из этих элементов.

Обозначается через .

Утверждение 5. = .

Доказательство.

Схема определения вида комбинаторной конфигурации

(n,k)-выборка

нет порядок да

(n,k)-сочетание имеет (n,k)-размещение

значение

(n,k)-размещение нет элементы да (n,k)-размещение

без могут с повторениями

элементы повторений повторяться

могут

повторяться k£ n k=n

= перестановки = n^k

без повторений

нет да k=n

n=k

перестановки

(n,k)-сочетание (n,k)-сочетание P_n = n! с

без с повторениями

повторений повторениями

= = = ,

n₁ + n₂ +…+ n_k = n.

Пример 3. Бросают две игральные кости (с шестью гранями каждая). Сколькими способами они могут упасть так, что либо на каждой грани выпадет четное число очков либо на каждой грани выпадет нечетное число очков?

Решение.

Пример 4. Сколькими способами три награды (за первое, второе и третье места) могут быть распределены между 10 участниками соревнований?

Решение.

Пример 5. Имеется 10 книг. Сколькими способами их можно расставить на полке?

Решение.

Пример 6. Сколько двухзначных чисел можно составить, используя цифры 7,4 и 5?

Решение.

Пример 7. Сколькими способами можно вытянуть 5 карт трефовой масти из стандартной колоды, содержащей 52 карты?

Решение.

Пример 8. В магазине продается 4 сорта пирожных: бизе, эклеры, песочные, наполеоны, песочные. Сколькими способами можно выбрать 7 пирожных?

Решение.

Пример 9. У врача 3 вида одного лекарства, 2 вида – другого и 4 вида – третьего. В течение девяти дней он каждый день предлагает больному по одному лекарству. Сколькими способами он может выделить больному лекарства?

Решение.