![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
Бином Ньютона
Исторически
название бином Ньютона несправедливо,
формулу
знали ещё среднеазиатские математики,
начиная с Омара Хайяма (Гийас ад-Дин
Абул-Фатин Ибрахим Хайям (около 1048 -
после 1122) – иранский математик, астроном
и поэт); в Европе до Ньютона (Исаак Ньютон
(1643- 1727) – английский физик, астроном и
математик) её знал Паскаль. Заслуга
Ньютона в том, что он обобщил эту формулу
для нецелого показателя n.
Итак,
(1)
Формула (1) легко доказывается методом математической индукции.
Замечание. Для нецелого n при | х |< 1, формула имеет вид
Свойства биномиальных коэффициентов
Биномиальное разложение служит основой для многих комбинаторных формул. Например:
Пусть a = b = 1. Получим
,
состоящего из n
элементов.
Действительно,
т.
к.
-
число k-элементных
,
то сумма в левой части есть число всех
подмножеств.
Пусть a = -1, b = 1. Отсюда
Действительно,
(
k : 0 ≤ n ≤ k)
(2)
Иными словами, с помощью этого тождества можно последовательно вычислить при n = 0, затем при n = 1, при n = 2 и т. д. Вычисления удобно записывать в виде треугольной таблицы:
1
1
1
1
2 1
1
3 3 1
1
4 6 4 1
1
5 10 10 5 1
В
(k+1)-й
строке которой по порядку стоят числа
,
а остальные числа вычисляются по формуле
(2). Поскольку
располагаются
в этой таблице строкой выше, чем
,
и находятся в этой строке слева и справа
от него, то для получения
надо
сложить находящиеся справа и слева от
него числа предыдущей строки. Например,
значение 10 в шестой строке мы получим,
сложив числа 4 и 6 пятой строки.
Эту треугольную таблицу называют треугольником Паскаля, по имени французского математика Блэза Паскаля (1623- 1662), в трудах которого она встречается. Это название исторически неточно, так как такую таблицу знал уже арабский учёный Амар Хайям, живший в 12 веке.
(