Модели экономических временных рядов

Трендовые модели на основе кривых роста

(4)

Прогнозирование на основе кривых роста базируется на двух предположе­ниях:

• временной ряд экономического показателя действительно имеет тренд, т.е. преобладающую тенденцию;

• общие условия, определявшие развитие показателя в прошлом, останутся без существенных изменений в тече­ние периода упреждения

1 N N+L

Наблюдение Упреждение

Наиболее часто в экономике используются полиномиальные и экспо­ненциальные кривые роста. Простейшие поли­номиальные кривые роста имеют вид:

(полином первой степени),

(полином второй степени), (5)

(полином третьей степени) и т.д.

Параметр называют линейным приростом, параметр - ускорением роста, параметр - изменением ускоре­ния роста.

В эко­номике чаще всего применяются две разновидности экспо­ненциальных (показательных) кривых: простая экспонента и модифицированная экспонента.

Простая экспонента

,

где функция возрастает с ростом

времени , если - функция убывает.

.

Модифицированная экспонента

,

где: , , k носит название асимптоты этой функции, т.е. значения функции неограниченно при­ближаются (снизу) к величине k. Могут быть другие варианты

Оценка коэффициентов (параметров) модели

Метод наименьших квадратов

Рассмотрим применение метода на примере кривой роста 3 – го порядка

(6)

(7)

(8)

(8a)

(9)

Моделирование тренда ВР

• MS Excel,

• Statistica,

• Пакеты расширения Matlab,

• Mathcad

Оценка адекватности и точности трендовых моделей

Адекват­ность - соответствие модели исследуемому процессу или объекту

Остаточная компонента (остатки)

,

должна удовлетворять свойствам случайной компоненты временного ряда (условиям Гаусса – Маркова):

• случайность ко­лебаний уровней остаточной последовательности;

• равенство математического ожидания случайной компоненты нулю;

• независимость значений уров­ней случайной компоненты;

• соответст­вие распределения случайной компоненты нормальному за­кону распределения.

При выполнении этих условий оценки параметров оказываются несмещенными, эффективными и состоятельными.

Адекватной признают модель, которая порождает остаточный ряд со случайными, центрированными, некоррелированными, нормально распределенными элементами.

Проверка случайного характера элементов остаточного ряда

Критерий серий

Например

S(N) - число серий

Kmax продолжительность самой длинной серии

Остаточный ряд с вероятностью 0,95 считается случайным, если

(10)

где trunc – символ целой части.

Проверка центрированности остаточного ряда

t – Критерий Стьюдента

, (11)

где

- оценки среднего значения и среднеквадратического отклонения остаточного ряда.

Задаются уровнем значимости и находят по таблицам точку t распределения с N-1 степенями свободы.

- принимается гипотеза о центрированности остаточного ряда

Проверка независимости (некоррелированности) элементов остаточного ряда

На практике проверка независимости остатков проводится с применением критерия Дарбина –Уотсона

. (12)

• Определяются критические значения критерия Дарбина -Уотсона и для заданного числа наблюдений , числа оцениваемых переменных модели и уровня значимости ;

• если величина , то заменяют и далее проводят анализ на основании d* ;

• Если окажется, что принадлежит , то компоненты остаточного ряда считаются коррелированными и модель признается неадекватной;

• Если окажется, что принадлежит , то элементы остаточного ряда классифицируются как независимые, а модель признается адекватной;

Таблица

Нижний и верхний пороги

Объем выборки N	Сложность модели тренда
	1		2		3		4		5
15	1,08	1,36	0,95	1,54	0,82	1,75	0,69	1,97	0,56	2,21
20	1,20	1,41	1,10	1,54	1,00	1,68	1,90	1,83	0,79	1,99
30	1,35	1,49	1,28	1,57	1,21	1,65	1,14	1,74	1,07	1,83
50	1,50	1,59	1,46	1,63	1,42	1,67	1,38	1,72	1,34	1,47
100	1,65	1,69	1,63	1,72	1,61	1,71	1,59	1,76	1,57	1,78

Отсутствие автокорреляции остатков обеспечивает состоятельность и эффективность оценок коэффициентов модели.

Проверка остатков на нормальное распределение

По экспериментальным данным (остаточному ряду) строятся эмпирические коэффициенты асимметрии (характеризует асимметрию плотности вероятности относительно мат. ожидания) и эксцесса (характеризует сглаженность кривой распределения около мат. ожидания):

. 13)

Среднеквадратические отклонения коэффициентов:

.

Если и ,

Р

Рис. б. Для нормальной плотности вероятности . - указывает, что кривая плотности в окрестности максимума имеет более острую вершину. - более низкая и плоская вершина кривой плотности.

ис. а. Пологий спад справа от МО - плотность вероятности обладает положительной асимметрией . Если коэффициент отрицательный, то говорят об отрицательной асимметрии.