3.3 Операции над графами

Пусть задан граф G=(V, E).

Подграф G – граф G₁=(V₁, E₁): V₁V, V₁, E₁E. Обозначается этот факт: G₁G. (G₁ называют также частью G.)

Пусть V₁V, V₁. Подграфом G, порожденным множеством V₁, называется граф G₁=(V₁, E₁): E₁ состоит из тех и только тех элементов E, начала и концы которых лежат в E₁.

Теорема. Пусть G=(V, E) – некоторый граф, а G₁=(V₁, E₁), V₁V, V₁ – подграф G, порожденный множеством V₁. Тогда – подматрица матрицы A_G, находящаяся на пересечении строк и столбцов, соответствующих вершинам из V₁.

Унарные операции

Добавление к G=(V, E) вершины v: G₁=(V{v}, E)

Добавление к G=(V, E) дуги (v, w): G₁=(V{v, w}, E{(v, w)})

Удаление из G=(V, E) дуги (v, w): G₁=(V, E\{(v, w)})

Удаление из G=(V, E) вершины v: G₁=(V\{v}, E\{(u, w)| u=v или w=v})

Отождествление в G=(V, E) вершин v и w (стягивание дуги (v, w))

Дополнение графа G=(V, E): G₁=(V, E')

Бинарные операции

Пусть заданы графы G₁=(V₁, E₁) и G₂=(V₂, E₂).

Пересечение графов G₁=(V₁, E₁) и G₂=(V₂, E₂):

, где .

Объединение графов G₁=(V₁, E₁) и G₂=(V₂, E₂):

.

Кольцевая сумма графов G₁=(V₁, E₁) и G₂=(V₂, E₂):

.

Соединение графов G₁=(V₁, E₁) и G₂=(V₂, E₂):

.

Произведение графов G₁=(V₁, E₁) и G₂=(V₂, E₂):

,

где .

Композиция графов G₁=(V₁, E₁) и G₂=(V₂, E₂):

,

где тогда и только тогда, когда выполняется одно из условий:

1. ;

2. .

Определение. Неоргаф без петель называется полным, если любые две его вершины смежны. Обозначается K_n.

Определение. (n-куба Q_n)

1. Q₀ – граф без петель, состоящий из одной вершины

2. Q₁= K₂

3. Q_n= K₂ Q_n–1, n>1

Обозначим вершины K₂ символами 0 и 1. Тогда вершины n-куба кодируются всевозможными двоичными наборами длины n, а ребра соединяют вершины, кортежи которых отличаются ровно одной координатой.

Постройте Q₂, Q₃, Q₄