Сводка и группировка в статистике

Задача 1.Имеются следующие данные о рабочих малого предприятия (табл.1). Постройте аналитическую группировку с целью выявления зависимости выработки рабочего от стажа его работы.

Таблица 1

№ п/п	Стаж работы, лет	Месячная выработка рабочего, тыс. руб.	№ п/п	Стаж работы, лет	Месячная выработка рабочего, тыс. руб.
1	1,0	200	16	10,5	276
2	1,0	202	17	1,0	234
3	3,0	205	18	9,0	270
4	6,5	290	19	9,0	264
5	9,2	298	20	6,5	252
6	4,4	250	21	5,0	241
7	6,9	280	22	6,0	256
8	2,5	230	23	10,1	262
9	2,7	223	24	5,5	245
10	16,0	310	25	2,5	240
11	13,2	284	26	5,0	244
12	14,0	320	27	5,3	252
13	11,0	295	28	7,5	253
14	12,0	279	29	7,0	252
15	4,5	222	30	8,0	262

Решение

Построим ряд распределения рабочих по стажу, образовав 5 групп с равными интервалами. Сначала определим, что факторный признак- это стаж работы, который влияет на значение выработки рабочего, а результативный – выработка, значение которой зависит от стажа работы. Следовательно, группировку производим по стажу рабочих.

Вычислим ширину равного интервала:

Образуем группы рабочих с равным интервалом h: от 1 до 4 лет, от 4 до 7 лет и т.д.. В каждый интервал попадают рабочие со стажем, равным значению нижней границы «от», и не включаются рабочие со стажем, совпадающим с верхней границей интервала «до».

По каждой группе подсчитаем численность рабочих и оформим результаты в виде следующей таблицы.

Таблица 2

Номер группы	Группы рабочих по стажу, лет	Число рабочих, чел.	Число рабочих, % к итогу
1	от 1 до 4	7	23,3
2	от 4 до 7	10	33,3
3	от 7 до 10	0	20,0
4	от 10 до 13	4	13,3
5	от 13 до 16	3	10,1
Итого	-	30	100,0

Имеем первичную простую структурную группировку, представленную равноинтервальным вариационным рядом распределения. Результаты группировки показывают, что более половины рабочих (53,3% имеют стаж работы от 4 до 10 лет. Равное число рабочих имеет стаж работы до 4 лет и свыше 10 лет, доля которых равна 23,3%.

Для построения аналитической группировки заполним вспомогательную таблицу, указав рядом с факторным соответствующий ему результативный признак.

Таблица 3

Номер группы	Группы рабочих по стажу, лет	Номер рабочего	Стаж, лет	Месячная выработка, тыс. руб.
1	От 1 до 4	1	1,0	200
		2	1,0	202
		3	3,0	205
		8	2,5	230
		9	2,7	223
		17	1,0	234
		25	2,5	240
	Итого	7	13,7	1534
2	От 4 до 7	6	4,4	250
		4	6,5	290
		15	4,5	222
		20	6,5	252
		21	5,0	241
		22	6,0	256
		24	5,5	245
		26	5,0	244
		27	5,3	252
		7	6,9	280
	Итого	10	55,6	2532
3	От 7 до 10	5	9,2	298
		18	9,0	270
		19	9,0	264
		28	7,5	253
		29	7,0	252
		30	8,0	262
	Итого	6	49,7	1599
4	От 10 до 13	13	11,0	295
		14	12,0	279
		16	10,5	276
		23	10,1	262
	Итого	4	43,6	1112
5	От 13 до 16	10	16,0	310
		11	13,2	284
		12	14,0	320
	Итого	3	43,2	914
	Всего	30	205,8	7691

По итоговым данным определим средний стаж и выработку рабочих в каждой группе: Средний стаж = Стаж всех рабочих/Число рабочих в группе;

Средняя выработка = Выработка всех рабочих/Число рабочих в группе.

стаж1=13,7/7=1,96 лет	выработка1=1534/7=219,1 тыс. руб.
стаж2=55,6/10=5,56 лет	выработка2=2532/10=253,2 тыс. руб.
стаж3=49,7/6=8,28 лет	выработка3=1599/6=266,5 тыс. руб.
стаж4=43,6/4= 10,9 лет	выработка4=1112/4= 278,0 тыс. руб.
стаж5=43,2/3=14,4лет	выработка5=914/3=304,7 тыс. руб.

Стаж=205,8/30=6,86 лет Выработка=7691/30=256,4 тыс. руб.

Построим аналитическую простую группировку (табл. 4)

Таблица 4

Номер группы	Группы рабочих по стажу, лет	Число рабочих, чел.	Средний стаж работы, лет	Месячная выработка, тыс. руб.
				всего	на одного рабочего
А	Б	1	2	3	4
1	от 1 до 4	7	1,96	1534	219,1
2	от 4 до 7	10	5,56	2532	253,2
3	от 7 до 10	0	8,28	1599	266,5
4	от 10 до 13	4	10,9	1112	278,0
5	от 13 до 16	3	14,4	914	304,7
Итого	-	30	6,86	7691	256,4

Сравнивая столбцы 2 и 4 данной таблицы, видим, что с увеличением стажа рабочих растёт месячная выработка продукции. Следовательно, между изучаемыми признаками имеется прямая зависимость.

Построим теперь группировку по двум признакам (то есть комбинированную) – стажу работы и выработке. Для этого необходимо в каждой группе рабочих по стажу выделить группы по второму признаку – средней месячной выработке продукции на одного рабочего. Образуем в каждой группе, выделенной по стажу, три группы рабочих по уровню месячной выработки.

Вычислим ширину интервала:

тыс. руб.

На основании неупорядоченных данных таблицы 3 строим первичную комбинированную группировку по двум признакам.

Таблица 5

№ п/п	Группы рабочих		Число рабочих, лет	Средний стаж рабо ты, лет	Среднемесячная выработка продукции, тыс. руб.
	по стажу	по среднемесячной выработке продукции, руб.			всего	на одного рабочего
А	Б	В	1	2	3	4
1	От 1 до 4	200-240	6	1,87	1294	215,7
		240-280	1	2,5	240	240,0
		280-320	-	-	-	-
Итого		-	7	1,96	1534	219,1
2	От 4 до 7	200-240	1	4,5	222,0	222,0
		240-280	7	5,4	1740,0	248,6
		280-320	2	6,7	570,0	285,0
Итого		-	10	5,56	2532,0	253,2
3	От 7 до 10	200-240	-	-	-	-
		240-280	5	8,1	1301	260,2
		280-320	1	9,2	298	298,0
Итого		-	6	8,28	1599	266,5
4	От 10 до 13	200-240	-	-	-	-
		240-280	3	10,9	817	272,8
		280-320	1	11,0	295	295,0
Итого		-	4	10,9	1112	278,0
5	От 13 до 16	200-240	-	-	-	-
		240-280	-	-	-	-
		280-320	3	14,4	914	304,7
Итого		-	3	14,4	914	304,7
Итого по подгруппам		200-240	7	2,25	1516	216,6
		240-280	16	7,1	4098	257,2
		280-320	7	11,0	2077	296,7
Всего		-	30	6,88	7691	260,8

Данные таблицы 5 показывают, что выработка продукции рабочих находится в прямой зависимости от стажа работы.

Задача 2. По приведенным ниже данным о квалификации рабочих цеха требуется: а) построить дискретный ряд распределения; б) дать графическое изображение ряда. Тарифные разряды 24 рабочих цеха: 3;6;4;4;2;3;5;4;4;5;2;3;4;4;5;2;3;6;5;4;2;4;3.

Решение

а) Дискретный ряд распределения имеет вид (табл.1).

Таблица 1

Распределение рабочих цеха по квалификации

Тарифный разряд, х	Число рабочих,f	Накопленная частота,S
2	4	4
3	5	9
4	9	18
5	4	22
6	2	24
Итого	24	-

б)на рис. 3.1. представлено графическое изображение построенного дискретного вариационного ряда в виде полигона частот. Полигон частот замыкается, для этого крайние вершины соединяются с точками на оси абсцисс, отстоящими на одно деление в принятом масштабе (в данном случае х=1 и х=7).

Рис. 3.1. Полигон распределения рабочих цеха по квалификации

Задача 3.Имеются следующие данные о возрастном составе рабочих цеха (лет): 18;38;28;29;26;38;34;22;28;30;22;23;35;33;27;24;30;32;28;25;29;26;31;24;29;27;32;25;29;29. Для анализа распределения рабочих цеха по возрасту требуется: а) построить интервальный ряд распределения; б) графически изобразить ряд.

Решение

а) Величина интервала группировки определяется по формуле: =2,85≈3 года, где n принимаем равным 7.

Интервальный ряд представлен в таблице 1.

Таблица 1

Интервальный ряд распределения

Группы рабочих по возрасту (лет), х	Число рабочих, f	Накопленная частота, S
18-21 21-24 24-27 27-30 30-33 33-36 36-39	1 3 6 10 5 3 2	1 4 10 20 25 28 30
итого	30	-

б) Графически интервальный вариационный ряд может быть представлен в виде гистограммы, полигона, кумуляты.

На рис.1 представлен интервальный полигон частот. На рис.2 представлена кумулятивная кривая (кумулята).

Рис. 1 Полигон распределения рабочих цеха по возрасту

Рис.2 Кумулята распределения рабочих цеха по возрасту

Средние величины в статистике

Задача 1. Имеются следующие данные о заработной плате рабочих участка (табл.1)

Таблица 1

Профессия	Количество рабочих	Заработная плата каждого рабочего за сентябрь, руб.
Токари	5	4700;4208;1917;3620;4400
Фрезеровщики	2	3810;4550
Слесари	3	5210;3380;1870

Вычислить среднюю месячную заработную плату рабочих участка.

Решение

Процесс выбора средней таков:

а) определяющий показатель - общая сумма начисленной заработной платы;

б) математическое выражение определяющего показателя-

в) замена индивидуальных значений средними -

г) решение уравнения:

Следовательно, использовалась формула простой средней арифметической.

Задача 2. Распределение рабочих участка по стажу работы следующее (табл.1) Определить средний стаж работы рабочих участка.

Таблица 1

Стаж работы, лет	До 5 лет	5-10	10-15	15 и более
Количество рабочих	2	6	15	7

Решение

Определяющий показатель – общий стаж работы всех рабочих- .

Средний стаж работы- лет.

Для каждого интервала предварительно вычислялось среднее значение признака как полусумма нижнего и верхнего значения интервала. Величина открытых интервалов приравнивается к величине примыкающих к ним соседних интервалов:

Для решения задачи использовалась формула средней арифметической взвешенной.

Задача 3. За два месяца по цехам завода имеются следующие данные (табл.1.) Определить за какой месяц и на сколько процентов была выше средняя месячная заработная плата работников предприятия.

Решение

Введем условные обозначения для сентября:

f -численность работников по каждому цеху;

x-средняя месячная заработная плата работников каждого цеха;

определяющий показатель- общий фонд заработной платы-

Таблица 1

№ цеха	Сентябрь		Октябрь
	Численность работников	Средняя месячная заработная плата, руб.	Средняя месячная заработная плата, руб.	Фонд заработной платы, руб.
1	140	3560	3600	486000
2	200	3600	3580	751800
3	260	3330	3340	835000

Средняя месячная заработная плата работников предприятия за сентябрь составила:

руб.

Условные обозначения для октября следующие:

w -фонд заработной платы по каждому цеху;

-средняя месячная заработная плата работников каждого цеха;

определяющий показатель –

Средняя месячная заработная плата работников предприятия за октябрь равна:

где - численность работников каждого цеха в октябре.

Средняя месячная заработная плата в октябре исчислена по формуле взвешенной гармонической.

Динамика средней месячной заработной платы работников предприятия:

или 100.3%

Следовательно, средняя месячная заработная плата работников предприятия в октябре повысилась на 0.3% по сравнению с сентябрем.

Задача 4. Проведена малая выборка из партии электрических лампочек для определения продолжительности их службы. Результаты представлены в табл.1. Определить моду и медиану.

Таблица 1

№ лампочки	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Срок горения, ч.	1450	1400	1370	1430	1400	1380	1270	1420	1400

Решение

Для определения моды и медианы производится ранжирование данных.

Ранжированный ряд: 1270, 1370, 1380, 1400, 1400, 1400, 1420, 1430, 1450.

Мода- ч (1400-значение признака, встречающееся три раза).

Место медианы-

Ме=1400 ч (1400- значение признака, находящееся на 5-м месте в ранжированном ряду).

. Показатели вариации и анализ частотного распределения

Задача 1. По приведенным ниже данным о квалификации рабочих требуется вычислить показатели вариации. Тарифные разряды 24 рабочих цеха: 4;3;6;4;4;2;3;5;4;4;5;2;3;4;4;5;2;3;6;5;4;2;4;3.

Решение

Построим дискретный ряд распределения (табл.1).

Вычислим среднюю арифметическую взвешенную:

разряда.

Таблица 1

Распределение рабочих цеха по квалификации

Тарифный разряд, х	Число рабочих,f	Накопленная частота,S
2 3 4 5 6	4 5 9 4 2	4 9 18 22 24
итого	24	-

К показателям вариации относятся: среднее линейное отклонение (), среднее квадратическое отклонение (), коэффициент вариации (v). Для расчета показателей ряда распределения удобно использовать вспомогательную таблицу 2.

= разряда;

разряда;

Таблица 2

Расчет показателей вариации

Тарифный разряд, х	Число рабочих,f	d= x-
2 3 4 5 6	4 5 9 4 2	-1,8 -0,8 +0,2 +1,2 +2,2	7,2 4,0 1,8 4,8 4,4	12,96 3,20 0,36 5,76 9,68
Итого	24		22,2	31,96

Следовательно, индивидуальные значения отличаются в среднем от средней арифметической на 1.15 разряда, или на 30.3%.

Среднее квадратическое отклонение превышает среднее линейное отклонение в соответствии со свойствами мажорантности средних.

Значение коэффициента вариации (30.3 %) свидетельствует о том, что совокупность достаточно однородна.

Задача 2. Имеются следующие данные о возрастном составе рабочих цеха (лет): 18; 38; 28; 29; 26; 38; 34; 22; 28; 30; 22; 23; 35; 33; 27; 24; 30; 32; 28; 25; 29; 26; 31; 24; 29; 27; 32; 25; 29; 29. Для анализа распределения рабочих цеха по возрасту: построить интервальный ряд распределения; исчислить показатели вариации.

Решение Построим интервальный ряд распределения.(табл. 1)

Таблица 1

Группы рабочих по возрасту (лет), х	Число рабочих, f	Накопленная частота, S
18-21 21-24 24-27 27-30 30-33 33-36 36-39	1 3 6 10 5 3 2	1 4 10 20 25 28 30
итого	30	-

Для расчета показателей вариации составляется вспомогательная таблица (табл.2)

Таблица 2

Вспомогательная таблица для расчета показателей вариации

Группы рабочих по возрасту, лет	Центр интервала, (лет),			d= -
18-21 21-24 24-27 27-30 30-33 33-36 36-39	19,5 22,5 25,5 28,5 31,5 34,5 37,5	19,5 67,5 153,0 285,0 157,5 103,5 75,0	1 3 6 10 5 3 2	-9,2 -6,2 -3,2 -0,2 2,8 5,8 8,8	9,2 18,6 19,2 20,0 14б0 17,4 17,6	84,64 115,32 61,44 0,40 39,20 100,92 154,88	84,64 38,44 10,24 0,04 7,84 33,64 77,44
Итого	-	861,0	30	-	116,0	556,80	-

=года

года

Следовательно, вариация возраста у рабочих данного цеха не является значительной, что подтверждает достаточную однородность совокупности.

Задача3. Имеются следующие данные о времени простоя автомобиля под разгрузкой(табл. 1)

Таблица 1

№ пункта разгрузки	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Число грузчиков	3	4	4	3	3	4	4	4	3	4
Время простоя, мин.	12	10	8	15	19	12	8	10	18	8

Проверить закон сложения дисперсий

Решение

В данной задаче варьирующим признаком является время простоя автомобиля под разгрузкой. Общая дисперсия времени простоя под разгрузкой определяется по формуле

Для расчета общей дисперсии составляется дискретный ряд распределения, промежуточные расчеты помещены в табл.2.

Таблица 2

Вспомогательная таблица для расчета общей дисперсии

Время простоя под (мин.т.),х	Число выполненных разгрузок,			()	()
8 10 12 15 18 19	3 2 2 1 1 1	24 20 24 15 18 19	-4 -2 0 3 6 7	16 4 0 9 36 49	48 8 0 9 36 49
Итого	10	120	-	-	150

Величина этой дисперсии характеризует вариацию времени простоя под разгрузкой под влиянием всех условий. Различия в величине изучаемого признака прежде всего возникают под влиянием числа грузчиков, принимающих участие в процессе разгрузки. В связи с этим в совокупности выделяются две однородные группы по числу грузчиков: в первую группу включаются наблюдения при числе грузчиков 3; во вторую группу-при числе грузчиков 4. Для каждой из выделенных групп определяется внутригрупповая дисперсия, возникающая под влиянием неучтенных факторов. Для их расчета использованы табл. 3 и 4.

Таблица 3

Расчет внутригрупповой дисперсии по первой группе(число грузчиков -3)

Время простоя под разгрузкой (мин.т.),х	Число выполненных разгрузок,			()
12 15 18 19	1 1 1 1	12 15 18 19	-4 -1 2 3	16 1 4 9
Итого	4	64	-	30

Таблица 4