Раздел 3

1. Исследовать поведение фазовых траекторий в системе «хищник-жертва» при малых отклонениях численностей от равновесных значений. С помощью линеаризации получить систему уравнений малых колебаний.

2. По результатам п.1 определить зависимость периода колебаний от параметров модели. Объяснить полученные результаты.

3. Вывести систему уравнений, описывающих различные типы взаимодействия популяций по пунктам Табл.3.1.

4. С использованием математических пакетов MathCad, Maple, Mathematica построить параметризованные графики зависимости периода колебаний в модели Лотки-Вольтерра.

5. Определить тип особых точек в модели Лотки-Вольтерра.

6. С использованием математических пакетов MathCad, Maple, Mathematica провести качественное исследование модели конкуренции видов за общий ресурс (уравнения (3.8), (3.9)). Построить фазовые траектории, определить тип особых точек. По литературным источникам подготовить обзор примеров применения модели конкуренции видов за общий ресурс.

7. Записать систему уравнений, описывающих симбиоз двух популяций (см. Табл.3.1). Провести качественное исследование математической модели. Сравнить полученные результаты с п.6.

Раздел 4

1. Исследовать устойчивость состояний равновесия в модели Лотки-Вольтерра (Раздел 3, система уравнений (3.7)).

2. Используя материал, изложенный в литературе [1, 1*, 5*,6*,9*], дать развернутое определение свойства грубости динамических систем. Привести примеры.

3. Исследовать модифицированную вольтеровскую модель (4.10) конкуренции видов:

3.1) найти стационарные состояния,

3.2) определить тип особых точек,

3.3) записать линеаризованные уравнения динамики в окрестности особых точек,

3.4) используя графические возможности математических пакетов, построить фазовые траектории системы,

3.5) определить, каким образом влияют коэффициенты конкуренции на динамику системы.

4. Для моделей 4.6.2 - 4.6.5 провести качественное исследование динамики, аналогичное п.п. 3.1 - 3.4.

Раздел 5

1. Создать MathCad-документ, в котором определяется функция периодического введения лекарственного вещества r(t+iT)=r(t), i=1,2…n со следующими аргументами: доза m_d, периодичность T, длительность отдельной инъекции , длительность курса лечения T₀ или общее количество инъекций n.

2. С использованием математических пакетов MathCad, Maple, Mathematica численно решить систему ОДУ (5.5) для периодической функции источника r(t+iT)=r(t), i=1,2…n считая заданными дозу m_d, периодичность T и общее время курса введения лекарственного вещества T₀. Варьировать коэффициент элиминации k_1e. Объяснить полученные результаты.

3. Получить аналитическое решение системы ОДУ (5.5) при r(t)=const. Записать решение при r(t)=0, c⁰₂=0, к_1е=0. Найти стационарные состояния системы. Проверить выполнение закона сохранения массы.

Раздел 6

1. Считая концентрацию лекарственных веществ заданной, получить выражение, определяющее скорость распространения популяционной волны патогенных микроорганизмов в примере 6.3.1.

2. Используя математический пакет Mathematica, провести численное решение диффузионного уравнения (6.8) на отрезке [0, L] с граничными условиями

N₂(0,t)= N₂₀ N₂(L,t)=0, N₂₀<N и начальными условиями

С помощью встроенных графических средств пакета Mathematica получить графики зависимостей N₁(x,t) и N₂(x,t) для различных параметров модели.

3. С помощью встроенных функций пакета Mathematica, создать анимационный клип, демонстрирующий процесс распространения эпидемической волны для условий Задания 2. Исследовать зависимость пространственного распределения числа больных N₂(x,t) от параметров модели (частоты контактов и эффективного радиуса заражения).

4. Подготовить аналитический обзор литературы по теме «Модели структурообразования в биологических системах».

5. Аналитически и с помощью численных методов исследовать одномерную двухкомпонентную биологическую систему реакция-диффузия, используя материал, изложенный в [3*, стр. 254-261].