5

Задания

для самостоятельной подготовки по курсу

«Моделирование биологических объектов и процессов»

Разделы 1-2

1. Представить в виде структурных схем биологические объекты (БО) , изучаемые в курсовых и самостоятельных работах по биохимии, биофизике, ТОБТС. Выделить входные, выходные параметры и параметры модели БО. Перечислить особенности моделирования приведённых примеров БО.

2. Сформулировать не менее 3 примеров математических моделей БО различного уровня сложности. Определить к какому классу принадлежит эти математические модели.

3. Определить тип вычислительных задач в моделях п.1 (по Разделу 2).

4. Определить, с помощью каких математических средств могут быть решены вычислительные задачи, определённые в п.1,2: аналитические выкладки, алгоритмизация и программирование на языках высокого уровня, применение математических пакетов, комбинация перечисленных методов (по Разделу 2).

5. По литературе ознакомиться с особенностями машинной арифметики операций с приближенными числами (по Разделу 2).

6. При вычислении разности двух приближенных чисел, близких друг к другу и заданных с одинаковой погрешностью возрастает относительная погрешность результата вычислений. Есть ли программно-алгоритмические способы обойти эту трудность? Для справки см. [8] (по Разделу 2).

7. Изучить правила записи приближенных двоичных чисел [8] .

8. Аналитически получить общее решение дифференциального уравнения логистического роста, записанное в нормированном виде. Построить графики зависимостей нормированной численности популяции от времени при различных начальных условиях: x(0)=0.2, 0.5, 1, 1.5, 2.

9. С использованием математических пакетов MathCad, Maple, Mathematica численно решить ОДУ логистического роста и построить графики временной динамики численности.

10. Методами качественной теории динамических систем исследовать устойчивость стационарных состояний логистической популяции.

11. Решить (MathCad, Maple) вычислительную задачу дискретной модели логистического роста популяции

Исследовать зависимость динамики популяции от параметра r.

12) Численно решить систему дифференциальных уравнений модели двухстадийного роста популяции [3]:

(П2.1)

где

(П2.2)

z₁, z₂ - численности стадий, нормированные на емкость b/a среды без воздействия токсикантов: z₁=c₁a/b, z₂=c_ma/b, t=pt – безразмерное время.

Для решения дифференциальных уравнений и графического представления выходных данных модели использовать математические пакеты Maple, Mathcad, Mathematica. Начальные условия и параметры модели задаются преподавателем.

13) Аналитически найти стационарные численности стадий популяционного роста. Исследовать зависимость стационарных численностей от нормированного внешнего потока клеток w. Определить при каких значениях параметра w стационарные состояния существуют. Объяснить характер полученных результатов.

14) Разработать алгоритм обработки экспериментальных данных по методу наименьших квадратов [5,6]. Привести блок-схему и листинг Pascal-программы. Для тестирования алгоритма использовать данные Табл.2.1. Построить графики сглаженных зависимостей стационарной численности популяции от концентрации химических агентов.

15) Провести обработку экспериментальных данных Табл.2.1 по методу наименьших квадратов с использованием последней версии пакета Mathcad.

16) Исследовать зависимость полученных в п.1 результатов от параметра . Объяснить полученные результаты.

17) Оценить погрешность метода Рунге-Кутта с фиксированным шагом при численном решении системы дифференциальных уравнений (П2.1), (П2.2) на интервале [0,5], если число шагов (или количество точек разбиения) составляет 50, 100,500,1000.