vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
11.Вычислите по формуле (11) момент инерции стержня без
грузов Jo относительно оси, проходящей через его центр масс, используя соответствующее значение периода колебаний, полученное в пункте V.
12.Вычислите по формуле (11) момент инерции стержня без грузов J относительно оси, смещённой на расстояние d, используя соответствующее значение периода колебаний, полученное в пункте V.
13.Вычислите по формуле (6) теоретическое значение момент инерции стержня J, используя результаты измерения расстояния d, массы и длины стержня из пункта V.
14.Выполните сравнительную оценку теоретического и экспериментального значения момента инерции стержня.
РАБОТА 6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ С ПОМОЩЬЮ МАЯТНИКА ОБЕРБЕКА
Цель работы - исследовать зависимость момента инерции крестовины с надетыми на нее грузиками от распределения массы относительно оси вращения, проходящей через центр масс крестовины.
Теоретические основы лабораторной работы
При выводе расчётных формул лабораторной работы использованы законы динамики поступательного и вращательного движения твердого тела.
Второй закон Ньютона для поступательного движения тела (m = const)
F ma |
(1) |
|
|
где F - сумма всех внешних сил, приложенных к телу; m – масса
тела; a - линейное ускорение.
Основной закон динамики вращательного движения
твердого тела |
(2) |
M = J |
|
|
|
28
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
где M - суммарный момент внешних сил, приложенных к телу относительно оси вращения; J - момент инерции тела относительно той же оси; - угловое ускорение.
Момент инерции тела является мерой инертности тела при вращательном движении. Момент инерции тела зависит от размеров и формы тел и от распределения массы тела относительно оси вращения.
Момент инерции сплошного твёрдого тела определяется по формуле
J r2dm r 2dV ,
где r - расстояние от элемента объема dV с массой dm до оси
вращения; - плотность вещества.
Момент силы относительно точки О это вектор, определяемый как векторное произведение радиус-вектора и силы
Ì = r F
где F - сила, r - радиус-вектор, проведенный из точки О, в точку
приложения силы.
Момент силы относительно оси вращения это проекция вектора момента силы относительно точки М на произвольную ось z, которая проходит через точку О:
Мz |
|
r F z . |
Основным элементом маятника Обербека (рис.2) является крестовина (1), на стержнях которой размещены грузы (2). Грузы можно перемещать по стержням и закреплять в нужном положении. Крестовина с грузами насажена на
вал, с двумя шкивами различных |
|
|
5 |
||||
радиусов (rш). На один из шкивов |
|
|
|
||||
наматывается |
нить |
(4), |
|
|
|
||
переброшенная через блок (5). К |
|
4 |
|
||||
концу нити подвешен груз массой m |
|
|
2 |
||||
(3). Под действием силы тяжести |
|
|
|||||
|
|
|
|||||
груза |
система |
приводится |
в |
|
|
|
|
движение. |
|
|
|
|
|
F |
|
|
На |
вертикальном штативе |
1 |
|
|||
|
|
rш |
|||||
установлены |
две |
неподвижные |
|
|
|||
|
|
|
|
29 |
|
rш2 |
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
mg |
|
|
|
|
|
|
|
|
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
рамки с оптическими осями (световые барьеры), между которыми может двигаться груз. Груз удерживается в верхнем положении электромагнитом. Время падения груза от верхнего до нижнего светового барьера фиксируется на секундомере.
На груз действует сила тяжести P = m g и сила натяжения
(3) где g - ускорение свободного падения; а – величина линейного ускорения, с которым движется груз.
Крестовина приходит во вращательное движение под
действием момента силы натяжения |
|
М = Frо |
(4) |
где rо - радиус шкива. |
|
Из уравнений (2) - (4) можно получить |
|
J mr0 g a / |
|
Используя соотношение между угловым и линейным |
|
ускорением а e = а/r0, получим выражение для момента инерции |
|
J mr02 g a / a |
(5) |
Из кинематики известно, что линейное ускорение при равноускоренном движении определяется по формуле
а = 2h/t2 (6) где h - путь, пройденный грузом за время t при нулевой начальной скорости.
Таким образом, подставляя (6) в (5), получим расчётную формулу для момента инерции крестовины с грузами
J |
mr 2 |
(gt 2 |
2h) |
|
0 |
|
|
(7) |
|
|
2h |
|
||
|
|
|
|
Из теоретических соображений следует, что момент инерции крестовины с четырьмя грузами массой m (если считать грузы материальными точками), можно выразить формулой
J p J 0 |
|
2 |
(8) |
4m r |
|
где J0 - момент инерции тела при r = 0.
30
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
Из формулы (8) следует, что Jр = f(r2). Следовательно, если построить график этой функции в координатах Jр - r2, то должна получиться прямая, продолжение которой будет пересекать ось ординат в некоторой точке, соответствующей Jо. Такое построение можно было бы сделать приближенно, «на глаз». Однако математические методы обработки результатов наблюдения позволяют сделать такое построение достаточно точным. Наиболее просто это можно сделать, с помощью метода наименьших
квадратов, вычислив J0 и m .
Для этого перепишем формулу (8) в виде
где r2 = х и 4m' = b. |
Jp J0 bx , |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||
Метод |
наименьших |
квадратов |
позволяет |
|||||
коэффициенты уравнения (9) J0 и b, используя формулы |
||||||||
J0 |
|
|
xi2 Ji xi xi Ji |
; |
||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
N xi Ji |
xi Ji |
. |
|
||
|
|
|
|
|
||||
здесь N xi2 xi 2 ; |
|
|
|
|||||
N число |
|
опытов; |
||||||
(9)
найти
(10)
Ji -
экспериментальные значения момента инерции Jэ, полученные для каждого опыта.
Порядок выполнения работы
1.Установить на вертикальном штативе со шкалой две неподвижные рамки (световые барьеры) на расстоянии 40-50 см друг от друга.
2.Измерить радиус шкива rш, на котором ведется эксперимент и путь, пройденный грузом.
3.Установить грузы на стержнях на максимальное расстояние от оси вращения и закрепить.
4.Включить установку нажатием кнопки «сеть».
5.Отключить электромагнит нажатием кнопки «пуск» и «сброс».
6.Выбрать необходимый груз по указанию преподавателя (табл.3).
31
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
Таблица 3
Основной |
m = 53 г. |
|
|
|
|
|
груз |
или m = 100 г. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m1 = 1,554 г. |
m6 |
= 2,504 г. |
m10 |
= 19,528 г. |
|
Перегрузы: |
m2 |
= 1,705 г. |
m7 |
= 2,714 г. |
m11 |
= 26,258 г. |
m3 |
= 1,829 г. |
m8 |
= 2,948 г. |
m12 |
= 32,836 г. |
|
|
m4 |
= 2,055 г. |
m9 |
= 12,800 г. |
m13 |
= 39,251 г. |
|
m5 |
= 2,206 г. |
|
|
|
|
7.Намотать нить на шкив, установив подвешенный груз на уровне верхней рамки (над оптической осью верхнего светового барьера).
8.Закрепить груз, нажав кнопку «пуск» и обнулить счетчик (кнопка «сброс»).
9.Отпустить груз (кнопка «пуск») записать измеренное время движения груза t до оптической оси нижней рамки.
10.Произвести не менее 3-х измерений времени t и вычислить t .
11.Сместить грузы на стержнях на 1 – 2 деления к центру и повторить п.п. (3÷6), измеряя расстояние r от оси вращения до центра масс груза.
12.Повторить измерения для 8 – 10 положений грузов.
13.Записать результаты эксперимента в таблицу 1.
Таблица 1
Физ. величина |
r |
t |
|
|
|
Jэ |
Jр |
t |
|
||||||
Ед. измерения |
|
|
|
|
|
|
|
Номер опыта |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
Обработка результатов измерений
Обработку результатов эксперимента удобно вести в форме таблицы 2.
1.Рассчитать экспериментальное значение момента инерции Jэ по формуле (7).
2.Рассчитать коэффициенты Jо и b по формулам (10).
32
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
Таблица 2
Номер опыта |
ri |
xi |
Ji |
xi2 |
xiJi |
Ед. измерения |
|
|
|
|
|
Номер опыта |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
xi |
Ji |
xi2 |
xi Ji |
3.Рассчитать момент инерции Jp для каждого опыта. Результаты вычислений занести в таблицу 1.
4.Построить график зависимости теоретического значения момента инерции Jр от x по формуле (9).
5.Вычислить дисперсию результата измерения момента инерции по формуле
|
1 |
N |
|
2J |
Jэ Jp 2 |
|
|
|
|
||
|
N 2 i 1 |
|
|
6. Вычислить доверительный |
интервал J ý J и |
J ý J |
|
измерения момента инерции. |
|
|
|
Контрольные вопросы
1.Что характеризует момент инерции тела?
2.По какой формуле определяется момент инерции материальной точки?
3.По какой формуле определяется момент инерции системы материальных точек?
4.По какой формуле определяется момент инерции дискретного твёрдого тела?
5.По какой формуле определяется момент инерции сплошного твёрдого тела?
6.Что такое момент силы?
7.Запишите основное уравнение динамики вращательного движения.
33