vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
аппроксимирующую функциональную теоретическую зависимость в соответствии с методом наименьших квадратов.
Анализ полученного результата. Выводы.
МЕХАНИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
РАБОТА 5. МОМЕНТ ИНЕРЦИИ РАЗЛИЧНЫХ ТЕЛ. ТЕОРЕМА ШТЕЙНЕРА.
Цель работы – измерить моменты инерции различных тел. Проверить теорему Штейнера.
Теоретические основы лабораторной работы
Момент инерции тела является мерой инертности тела при
вращательном движении. |
Момент |
инерции тела |
зависит от |
размеров и формы тел |
и от |
распределения |
массы тела |
относительно оси вращения.
Момент инерции сплошного твёрдого тела определяется по формуле
J r2dm r 2dV ,
где r - расстояние от элемента объема dV с массой dm до оси вращения, - плотность вещества.
21
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
Рис.1. Общий вид экспериментальной установки
Таким образом, момент инерции тел различной формы можно найти как результат интегрирования по соответствующему объёму тела.
Частные случаи.
1. Момент инерции материальной точки массой m , находящейся на расстоянии R от оси вращения
I mR 2 |
(1) |
2. Момент инерции сплошного цилиндра относительно оси, перпендикулярной к плоскости основания цилиндра и проходящей через его центр масс (ось цилиндра)
I |
mR2 |
(2) |
|
2 |
|||
|
|
здесь R, m - радиус и масса цилиндра.
Так как момент инерции не зависит от высоты цилиндра, эта же формула справедлива для момента инерции однородного диска относительно оси перпендикулярной к плоскости диска.
3. Момент инерции полого цилиндра с внутренним радиусом R1 и внешним радиусом R2 относительно оси, совпадающей с осью цилиндра.
J |
1 m(R12 |
R22 ) |
(3) |
|
2 |
|
|
4. Момент инерции шара массой m и радиуса R относительно оси проходящей через его центр масс
22
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
I |
2 mR 2 |
(4) |
|
5 |
|
5. Момент инерции тонкого стержня массой m и длиной l относительно оси проходящей через его середину перпендикулярно стержню.
I |
ml 2 |
(5) |
|
12 |
|||
|
|
Эти формулы справедливы для момента инерции относительно оси симметрии.
Момент инерции относительно произвольной оси параллельной оси симметрии можно найти с помощью теоремы Штейнера.
Момент инерции относительно произвольной оси О1О1 равен сумме момента инерции I0, относительно оси OO, параллельной данной и проходящей через центр масс тела и произведения массы тела на квадрат расстояния d между осями.
O1 |
|
l |
|
O |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O1 d=l/2 O
Рис. 2.
J J0 md 2 |
(6) |
Например, с помощью теоремы Штейнера, зная момент инерции стержня относительно оси перпендикулярной к стержню и проходящей через его центр масс, можно получить формулу для вычисления момента инерции стержня относительно оси проходящей через его конец.
|
|
l |
2 |
ml2 |
|
ml |
2 |
ml |
2 |
||
J J 0 |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
(7) |
|
2 |
12 |
4 |
3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Вобщем случае расчет момента инерции представляет собой достаточно сложную задачу.
Вданной работе для экспериментального измерения моментов инерции различных тел используется метод крутильных колебаний.
23
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
Исследуемые тела насаживаются на ось спиральной пружины. В результате деформации пружины при её закручивании
на угол возникнет упругая сила. Эта сила создает крутящий момент (момент силы) Ì . Модуль момента пропорционален углу закручивания пружины
M=D |
(8) |
В этой формуле коэффициентом пропорциональности D |
|
является модуль кручения пружины. |
|
С другой стороны из определения момента силы следует, что |
|
это вектор, модуль которого определяется по формуле |
(9) |
М=Fl |
|
Крутящий момент стремится вернуть пружину в исходное (равновесное) состояние. В результате возникают крутильные колебания.
В соответствии с теорией период крутильных колебаний определяется по формуле
T 2 |
|
J |
|
(10) |
|
D |
|||||
|
|
|
|
Отсюда момент инерции тела
J |
T |
2 D |
(11) |
|
4 2 |
||||
|
|
|||
Таким образом, измеряя период крутильных колебаний и зная модуль кручения D пружины, можно вычислить момент инерции тела, насаженного на ось пружины.
Методика лабораторной работы позволяет измерять моменты инерции стержня без грузов, стержня с грузами, сплошного цилиндра, полого цилиндра, диска и шара.
Порядок выполнения работы
I. Определение модуля кручения пружины.
1.Возьмите стержень с грузами и насадите его на ось пружины. Грузы сдвиньте к центру.
2.Поверните стержень на 90о ( /2 радиан).
24
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
3. Прикрепите к стержню (у |
|
|
|
|
||
края грузов) динамометр |
и измерьте |
|
F |
l |
M |
|
|
|
|
|
|||
величину |
силы F, необходимую для |
|
|
|
|
|
/2 |
|
|
|
|||
удержания стержня в этом положении |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||
(динамометр держите перпендикулярно |
|
|
|
|||
3 /2 |
|
|
|
|||
стержню и оси вращения). |
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
||
4. |
Проделайте эти |
измерения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
для углов , равных 180о, 270о, 360о.
5. Полученные данные занесите в таблицу 1.
II. Определение периода колебаний системы с исследуемым телом.
Для измерения периода используется устройство, называемое световым барьером. Оно состоит из источника и приемника света. На ось пружины насажена непрозрачная полоска, размещаемая между источником и приемником света. При колебаниях эта пластинка периодически перекрывает луч света. Световой барьер может работать в нескольких режимах, которые устанавливаются с помощью переключателя. Он может измерять число колебаний, полпериода или целый период колебаний. Удобнее использовать режим измерения периода колебаний.
Порядок измерения периода
1.Установите переключатель в положение режим измерения периода, при котором на индикаторе высвечиваются четыре точки.
2.Насадите на ось пружины исследуемое тело.
3.Расположите всю систему так, чтобы непрозрачная полоска перекрывала луч света от источника.
4.Обнулите счётчик времени, закрутите пружину на 180о и отпустите исследуемое тело.
5.Перепишите значение периода с индикатора.
6.Нажмите кнопку на световом барьере (обнулите показания индикатора).
7.Повторите измерения периода 5 – 10 раз.
8.Определите среднее значение периода.
25
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
III. Определение моментов инерции различных тел относительно оси, проходящей через центр симметрии.
1.Выберите (по указанию преподавателя) определенное тело и насадите его на ось пружины.
2.Измерьте период колебаний системы описанным выше способом (пункт II).
3.Измерьте радиус тела (характерный размер) и определите его массу, взвесив тело на весах.
4.Проведите аналогичные измерения для других тел (по указанию преподавателя).
IV. Изучение зависимости момента инерции от расстояния между центром масс тела и осью вращения.
1.Расположите грузы на стержне симметрично относительно оси вращения как можно ближе к оси.
2.Измерьте расстояние r от оси вращения до центров масс грузов.
3.Насадите стержень с грузами на ось пружины.
4.Измерьте период колебаний системы описанным выше способом (пункт II).
5.Последовательно смещайте грузы от оси пружины на 2 см и измеряйте период.
6.Составьте таблицу 2.
Таблица 2.
rм
r2 м2
Tс
Jкг.*м2
V.Проверка теоремы Штейнера.
1.Насадите на ось пружины стержень без грузов. Ось пружины должна совпадать с центром стержня.
2.Измерьте период колебаний описанным выше способом (пункт
II).
3.Сместите стержень относительно центра на некоторое расстояние d.
4.Измерьте период колебаний стержня со смещённой осью.
26
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
5.Измерьте массу стержня, его длину и расстояние d.
Обработка результатов измерений
I. Определение модуля кручения |
M |
|
пружины. |
||
|
1.Вычислите модуль момента силы
Мпо формуле 9.
2.Полученные данные занесите в
таблицу 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3. |
По |
полученным |
данным |
|
|
|
|
|||
|
|
Рис. 3 |
|
||||||||
постройте график зависимости М от .. |
|
|
|||||||||
|
На графике (рис 3) тангенс угла наклона прямой будет |
||||||||||
численно равен модулю кручения пружины D. (формула 8). |
|
|
|
||||||||
|
4. |
Вычислите |
экспериментальное |
значение |
момента |
||||||
инерции. по формуле 10, используя полученные значения D и T. |
|
||||||||||
|
5. |
По одной из формул (1 – 5) вычислите теоретическое |
|||||||||
значение момента инерции для данного тела. |
|
|
|
|
|
||||||
6.Сравните теоретические и экспериментальные результаты. |
|
|
|
||||||||
|
7. |
По данным таблицы 2 нанесите |
J |
|
|
|
|
||||
на |
график |
зависимости |
J=f(r2) |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||
экспериментальные точки. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
8. |
Запишите |
|
аппроксимирующую |
|
|
|
|
|
||
функцию для момента инерции стержня с |
|
|
|
|
|
||||||
грузами в виде |
|
2mr 2 |
|
Jст |
|
|
|
|
|||
|
|
J J |
ст |
|
|
|
|
r2 |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
здесь m –масса одного груза. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
В переменных J=f(r2) это уравнение |
|
Рис. 4 |
|
|||||||
прямой не проходящей через начало |
|
|
|
|
|
||||||
координат. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
9. |
По методу наименьших квадратов проведите прямую |
|||||||||
согласно функциональной зависимости. |
|
|
|
|
|
||||||
|
Отрезок, отсекаемый прямой на оси ординат равен моменту |
||||||||||
инерции стержня Jст.
10. Сравните это значение с теоретическим значением J (формула 5). Результат сравнительной оценки представьте в процентах.
27