Дискретная математика

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

ВОЕННО-КОСМИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ имени А.Ф. Можайского

А.В. Морозов, Л.В. Носова, С.В. Шулгунова

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

Электронное учебное пособие

Санкт-Петербург

2016

1

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Дискретная математика. Электронное учебное пособие / А.В. Морозов, Л.В. Носова, С.В. Шулгунова. – СПб.: ВКА имени А.Ф. Можайского, 2016.

– 109 с.

Настоящее электронное учебное пособие адресовано курсантам ВКА имени А.Ф. Можайского всех специальностей, изучающим дисциплину «Дискретная математика». Оно включает материал дисциплины, излагаемый во втором семестре 1 курса: “Множества и отношения”, “Элементы комбинаторики”, “Булева алгебра”, ”Элементы теории графов”. Каждая глава завершается перечнем контрольных вопросов.

© ВКА имени А.Ф. Можайского, 2016

2

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Содержание

Введение ………………………………………………………………… 5

Глава 1. Множества и отношения…………………………………… 6

4

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

ВВЕДЕНИЕ

Дискретная математика - область математики, занимающаяся изучением дискретных структур, которые возникают как в рамках самой математики, так и в её приложениях. К числу таких структур могут быть отнесены конечные группы, конечные графы, а также некоторые математические модели преобразователей информации, конечные автоматы, машины Тьюринга и так далее. Это примеры структур конечного характера. Раздел дискретной математики, изучающий их, называется конечной математикой. Иногда само это понятие расширяют до дискретной математики. Помимо указанных конечных структур, дискретная математика изучает некоторые алгебраические системы, бесконечные графы, вычислительные схемы определённого вида, клеточные автоматы и т. д. В качестве синонима иногда употребляется термин «дискретный анализ».

В курсе изучаются фундаментальные понятия, лежащие в основе математической кибернетики и таких разделов математики как алгебра, теория графов, математическая логика. Хотя данные разделы и являются отдельными математическими теориями, они не только используют методы друг друга, но и тесно связаны между собой. Все их можно объединить условным названием “дискретная математика”. Этот термин характеризует конструктивный характер теории, алгоритмические, комбинаторные методы. Задачи дискретной математики, как правило, тесно связаны с компьютерными проблемами, естественно выражаются в виде различных алгоритмов.

Дискретная математика, стала активно развиваться с начала XX века, когда стали изучаться возможности формализации математики и были получены фундаментальные результаты в области математической логики. Это результаты Поста, Клини и, особенно, Гёделя. Теорема неполноты Гёделя имеет мировоззренческое значение – она показывает ограниченность формальных методов построения математической теории.

Тесно связаны с математической логикой исследования в области теории алгоритмов Тьюринга, Поста, Чёрча (также в начале XX века).

Информатизация и компьютеризация общества во второй половине XX века в значительной степени стимулировала развитие дискретной математики.

5

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Глава 1. МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ

Теория множеств – раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств. Теория множеств лежит в основе большинства математических дисциплин; она оказала глубокое влияние на понимание предмета самой математики.

До второй половины XIX века понятие «множества» не рассматривалось в качестве математического понятия («множество книг на полке», «множество человеческих добродетелей» и т.д. – всё это – бытовые обороты речи). Положение изменилось, когда немецкий математик Георг Кантор разработал свою программу стандартизации математики, в рамках которой любой математический объект должен был оказываться тем или иным «множеством». Например, натуральное число, по Кантору, следовало рассматривать как множество, состоящее из единственного элемента другого множества, называемого «натуральным рядом» — который, в свою очередь, сам представляет собой множество, удовлетворяющее так называемым аксиомам Пеано. При этом Кантор не давал четкого определения множества: «множество есть многое, мыслимое как единое». Это вполне соответствовало умонастроению самого Кантора, подчёркнуто называвшего свою программу не «теорией множеств» (этот термин появился много позднее), а учением о множествах.

Программа Кантора вызвала резкие протесты со стороны многих современных ему крупных математиков. Особенно выделялся своим непримиримым к ней отношением Леопольд Кронекер, полагавший, что математическими объектами могут считаться лишь натуральные числа и то, что к ним непосредственно сводится (известна его фраза о том, что «бог создал натуральные числа, а всё прочее — дело рук человеческих»). Тем не менее, некоторые другие математики — в частности, Готлоб Фреге и Давид Гильберт

— поддержали Кантора в его намерении перевести всю математику на теоретико-множественный язык.

Однако вскоре выяснилось, что установка Кантора на неограниченный произвол при оперировании с множествами (выраженный им самим в принципе «сущность математики состоит в её свободе») является изначально порочной. А именно, Антиномии ознаменовали собой полный провал программы Кантора.

Аксиоматическая теория множеств

В начале XX века Бертран Рассел, изучая наивную теорию множеств, пришел к парадоксу. Оказалось, что при использовании теоретикомножественных представлений некоторые утверждения могут быть доказаны вместе со своими отрицаниями (а тогда, согласно правилам классической

6

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

логики высказываний, может быть «доказано» абсолютно любое утверждение!). Таким образом, была продемонстрирована несостоятельность канторовской теории множеств.

Особенностью аксиоматического подхода в теории множеств является отказ от лежащего в основе программы Кантора представления о действительном существовании множеств в некотором идеальном мире. В рамках аксиоматических теорий множества «существуют» исключительно формальным образом, и их «свойства» могут существенно зависеть от выбора аксиоматики.

§ 1. Основные определения

Множества в математике определяются через входящие в него объекты, называемые элементами множества.

Опр. Под множеством понимается совокупность (объединение) какихлибо объектов, как правило, одной (реже произвольной) природы, воспринимаемых, как единое целое. Эти объекты называются элементами множества.

Множества будем обозначать большими буквами латинского алфавита, а элементы множества маленькими.

x X – объект x является элементом множества X .

y X – объект у не является элементом множества X .

Множество считается заданным, если о любом элементе можно сказать, принадлежит он данному множеству X или нет.

Различают конечные и бесконечные множества. Основные способы задания множеств:

1. Перечисление всех входящих в него элементов. Этот способ подходит только для множеств, состоящих из конечного числа элементов.

Примеры.

C х : х "Сергей", х курсант 62 курса ,

D x : f (x) 0 – множество корней уравнения.

7

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

A, B – бесконечные множества, C – конечное множество, D – зависит от функции f (x) .

Опр. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается символом .

Считается, что является подмножеством любого множества !

Опр. Множество (U ) , содержащее все подмножества множества U , называется булеаном непустого множества U , при этом U называется универсальным множеством (или универсуумом). Универсальное множество либо задается, либо очевидно из контекста.

Пример. Рассмотрим множество

U {a,b,c} (U ) {{ },{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}} .

Множество U содержит 3 элемента, его булеан содержит 8 23 элементов.

Теорема (о числе элементов булеана конечного множества).

Если U – конечное множество, содержащее n элементов, то его булеан B(U ) содержит 2n элементов.

Доказательство проведем методом математической индукции:

1.Базис индукции: проверим справедливость утверждения для n = 1:

U{a1} (U ) { ; a1}, т.е. B(U ) содержит 21 = 2 элемента.

2.Индуктивное предположение: пусть при n = k булеан множества

3. Шаг индукции: докажем справедливость утверждения при n=k+1. В этом случае U {a1,a2 ,...,ak 1}. Из первых k элементов по индуктивному

предположению можно составить 2k множеств, и еще 2k множеств получаем

справедливо для любого натурального n, ч.т.д.

8

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

§ 2. Операции над множествами

Над множествами могут производиться операции, результатом которых являются новые множества. Для иллюстрации этих операций используются диаграммы Эйлера-Венна, изображающие множества в виде некоторых областей на плоскости, например:

А В – A является подмножеством

множества B .

Опр. Объединением множеств А и В называется множество А В , состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В:

А В {c : c A или с В} .

Если А В А В В .

Опр. Пересечением множеств А и В называется множество состоящее из элементов, принадлежащих каждому из множеств А и В:

А В {c : c A и с В}

Если А В , то А В А.

Опр. Если множества А и В не имеют общих элементов, то А В , такие множества называются непересекающимися.

9

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

пересекаются, тогда совокупность множеств Ak называется разбиением множества A на

Опр. Разностью множеств A и B

называется множество А \ В , состоящее из элементов множества A, не содержащихся в множестве B :

А \ В {c : c A и с В} .

Опр. Симметрической разностью множеств A и B называется множество A B , содержащее элементы, входящие только в одно из множеств А \ В или B \ A :

А В (А \ В) (В \ А)

или

А В (А В) \ (А В) .

множества A до множества B .

10