Дискретная математика

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Пример.

x

Граф- планарный, т.к. его можно изобразить без видимых пересечений ребер:

x

S=4, W= 5 – 7 + 4 = 2.

Теорема (об эйлеровой характеристике планарного графа)

Эйлерова характеристика любого планарного связного графа равно двум,

т.е.

|M|-|Г|+ S = 2.

б/д

Теорема (необходимый признак планарности графа).

Для всякого связного планарного графа без петель и кратных ребер справедливо неравенство.

|Г| 3|M| - 6

Доказательство.

Каждая грань графа G ограничена, как минимум, тремя ребрами, а каждое ребро является границей не более двух граней,

Из Теоремы. об эйлеровой характеристике имеем:

Следствие: Если для графа G=<М,Г> выполняется |Г|>3|M| - 6, то граф не является планарным.

Теорема Куратовского

Граф является планарным тогда и только тогда, когда он не содержит подграфов, стягиваемых к графам.

91

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Стягивание ребра – операция, которая удаляет ребро из графа а инцидентные этом ребру вершины сливаются в одну.

Утверждение.

Любой граф, содержащий конечное или счетное число ребер может быть изображен без пересечений в трехмерном пространстве.

Пример.

Проверить необходимое условие планарности для графов из теоремы Куратовского.

1)|M|=6; |Г|=9; 9 12 – выполняется (но это не достаточное условие)

2)|M|=54; |Г|=10; 10>3*5-6 – т.е не выполняется

§ 8.Задача о раскраске графа

В 1878 на заседание английского Королевского общества математик Артур Кэли сформулировал задачу: Можно ли на политико-административной карте раскрасить страны так, чтобы никакие две страны, имеющие общую границу, не были раскрашены одно краской, и при этом было бы использовано не более 4-х цветов.

Опр. Раскраской графа без петель и кратных ребер называется сопоставление красок вершинам графа.

Раскраска называется правильной, если любые две смежные вершины

В настоящее время задача, поставленная Кэли решена т.е. доказано, что хроматическое число любого планарного графа не превышает четырех.

Утверждение.

Хроматическое число планарного графа χ (G)=2 т. и т.т., когда граф не содержит циклов нечетной длины.

92

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Пример.

Найти χ (G) графов:

Алгоритм последовательной раскраски:

1.Произвольная вершина ai графа G принимает цвет №1.

2.Если все вершины графа раскрашены то задача выполнена, если нет, то перейти к п.3.

3.Если не раскрашенная вершина ai , смежна с одной из уже

раскрашенных, то ей присваивают минимальный номер цвета, не совпадающего с номером цвета смежных с ней вершин, перейти к п.2.

Этот алгоритм не всегда приводит к минимальной (в смысле количество цветов) раскраске.

Утверждение. Если G – лес, то χ(G) 2.

Любая не раскрашенная вершина графа G не может быть смежна двум раскрашенным, т.к. это означало бы существование цикла в G.

§9. Эйлеров цикл. Гамильтонов цикл

Опр. Цикл в графе G называют эйлеровым, если он проходит по одному разу через каждое ребро графа. Граф, содержащий эйлеров цикл, называется

эйлеровым графом.

Теорема (об эйлеровых циклах).

Для того, чтобы в связном графе без петель существовал эйлеров цикл, необходимо и достаточно, чтобы степени всех его вершин были четными.

93

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Доказательство.

Основано на том, что вход в любую вершину и выход из нее осуществляется по разным ребрам deg xi 2k четна

Замечание. Задача о Кёнигсбергских мостах не имеет решения (не существует Эйлеров цикл)

Опр. Цикл в графе называется гамильтоновым, если он проходит все вершины графа по одному разу.

Опр. Граф G называют полным, если все его вершины смежные.

Теорема (достаточное условие существования гамильтонова цикла).

Если граф G полный, то в нем существует гамильтонов цикл.

Доказательство. Пусть дан G=<М,Г>; M {x1 , x2 ,....xn } т.к. все вершины смежные, то можно построить цикл x1 x2 ,x3 ... xn x1

Так как нет повторяющихся ребер и вершин (кроме первой и последней), то построенный цикл – гамильтонов.

Опр. Точкой сочленения графа G называется такая вершина, удаление которой вместе с инцидентными ей ребрами увеличивает число компонент связности.

Пример.

x

x-( ) сочленения

Теорема (Необходимое условие существования гамильтонова цикла).

Если в графе G существует гамильтонов цикл, то это связный граф без точек сочленения.

Доказательство:

1) Связность: т.к. в существует гамильтонов цикл, то все вершины графа являются соединенными граф связный.

94

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

2) В графе G нет точек сочленения: Проведем доказательство от противного: Пусть в связном графе, содержащем гамильтонов цикл, существует точка сочленения xi .

Удалим из графа G вершину xi вместе с инцидентными ей ребрами, тогда цикл превратиться в цепь, содержащую все вершины кроме xi , т.е. граф останется связным, что противоречит тому, что xi является точкой сочленения.

ч.т.д.

Замечание.

Задача нахождения гамильтонова цикла математически неразрешима.

Задача о коммивояжере

Коммивояжеру необходимо посетить несколько населенных пунктов, расстояние между которыми известно. Требуется найти кратчайший маршрут, проходящий по всем населенным пунктам по одному разу, и вернуться в исходный пункт.

Задача решается нахождением всех гамильтоновых циклов и выбором из них наименьшего.

Пусть G=<М,Г> - полный, тогда в нем существует (n 1)! гамильтоновых

2

циклов (Выберем одну вершину графа, остальные n-1 вершин можно произвольным образом расставить (n-1)! способами; делим на 2 т.к. направление не учитывается).

§10. Ориентированный граф (орграф)

М- непустое конечное множество элементов, называемых вершинами орграфа;

1. Перечисление элементов множества:

95

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Свойства матриц смежности и инцидентности орграфа

Опр. Полустепенью исхода вершины x называют число выходящих из вершины х дуг: deg_x; полустепенью захода называют число заходящих в х дуг: deg+x

Сумма по столбцам матрицы инцидентности орграфа без петель равна 0.

Для орграфа без петель сумма по столбцам матрицы смежности равна числу заходящих в соответствующие вершины дуг

k

Sij deg x j j 1

k

Сумма по строкам: Sij deg x j -число выходящих из вершины дуг

j 1

96

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Теорема (о свойствах матрицы смежности орграфа)

Пусть S-матрица смежности орграфа , S n s(n) , тогда элемент s( n)

G ji ji

матрицы S n равен количеству путей из вершин xi в вершину x j .

Доказательство аналогично доказательству соответствующей теоремы для неориентированного графа.

Пример: Определит количество путей длины 2 и длины 3 из x1 в x3 .

x2

минимальным, если он имеет наименьшую длину из всех существующих путей из х в у

Свойства минимальных путей

1.Если путь { xi11, xi 2,....xin } из xi1 в xin } является минимальным, то любой

всех путей, содержащих не более n дуг, то путь {xi1 ,...xin } является минимальным среди всех путей из xi1 в xin , содержащих не более (n-1) дуги.

98