3. Резонанс.

Явление резкого возрастания амплитуды (заряда, тока или напряжения) вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающего напряжения к частоте _рез. называется резонансом. При ² ²₀ значение _рез. практически совпадает с собственной частотой колебательного контура ₀. Подставляя выражение резонансной частоты в уравнение для заряда

Q_m. = (U_m./L)/[(²₀ - ²) + 4²²], получим

Q_m. = (U_m./L)/[2(²₀ - ²)].

Из рис. . видно, что чем меньше , тем выше и правее лежит максимум резонансной кривой. При малом затухании

(² << ²₀) резонансная амплитуда заряда

Q_рез. = (U_m./L)/(2₀) = Q_m. = (U_m./L²₀).₀ /2 = .(U_m./L)/²₀

где  - добротность колебательного контура. Амплитуда тока

I_max. = Q_m. = (U_m./L)/[(²₀ - ²) + 4²²] =

= (U_m./L)/[(²₀ - ²)/² + 4²],

максимальна при _{рез. =} ₀ и равна

(U_m./L)/(2),

т.е. чем больше коэффициент затухания , тем ниже максимум резонансной кривой. Амплитуда тока при резонансе

I_max. = U_max./R.

Наличие электрического резонанса позволяет обнаруживать (а затем и усиливать) очень слабые колебания, если их частота совпадает с частотой собственных колебаний прибора (радио, телевидение).

Уравнение вынужденных колебаний:

Решая уравнение вынужденных колебаний, можно показать, что амплитуда напряжения на конденсаторе зависит от соотношения частоты источника ЭДС и частоты собственных колебаний контура .

Ток в контуре равен:

Амплитуда тока в контуре также зависит от соотношения частот ω и ω₀

График зависимости i₀ от представлен на рисунке:

Из графика видно, что амплитуда тока резко возрастает при прибли­жении циклической частоты источника ЭДС к частоте собственных колебаний Это явление называется резонансом в электричес­кой цепи, а кривые- резонансными кривыми. Величина максимума за­висит от коэффициента затухания β При β=0,I→∞ при увели­чении β максимальное значение I₀ уменьшается.

Величина где называется добротностью колебательного контура. Добротность контура определяется остротой резонанс­ных кривых. Если известны параметры колебательного контура, то добротность может быть записана как:

Лабораторная работа

ИЗУЧЕНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ В КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ

Цель работы: изучение явления резонанса в колебательном контуре; определение добротности контура.

Приборы и принадлежности: колебательный контур, звуковой генератор ЗГ, цифровой вольтметр.

Методика и техника эксперимента

В данной работе рассматриваются вынужденные электромагнитные колебания, возникающие в колебательном контуре под действием внешней периодически изменяющейся ЭДС.

Э ДС источника, подключенного к колебательному контуру, изменяется по гармоническому закону:

ε = ε₀ cosωt. (6.8)

Выведем уравнение вынужденных колебаний, возникающих в колебательном контуре, состоящем из последовательно соединенных конденсатора С и катушки индуктивности L, подключенных к источнику ЭДС.

Полагая, что мгновенные значения тока в контуре и напряжений на обкладках конденсатора Uс и катушки индуктивности U_L удовлетворяют законам, установленным для цепей постоянного тока, применим к колебательному контуру второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма падений напряжений в замкнутом контуре равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом контуре:

I·R + Uс = ε_L + ε. (6.9)

Так как: U_С = – падение напряжения на обкладках конденсатора;

ε_L = – L – ЭДС самоиндукции;

ε = ε₀ sinωt – внешняя ЭДС,

уравнение (6.9) примет вид:

+ I·R + L = ε₀ sinωt. (6.10)

Как следует из уравнения (2), изменения тока I и напряжения U с течением времени должны происходить с той же частотой ω, с какой изменяется внешняя ЭДС, однако фаза колебаний этих величин может отличаться от фазы колебаний ЭДС.

Продифференцируем уравнение (6.10) по времени и разделим на величину L. В результате получим уравнение вынужденных колебаний:

+ + t. (6.11)

Решение этого уравнения будет иметь вид:

I = I₀ sin (ωt – φ). (6.12)

Соответствующие расчеты приводят к следующим значениям для амплитуды тока и разности фаз между током и внешней ЭДС:

I₀ = – амплитуда тока, (6.13)

tg φ = – разность фаз между током I и ε. (6.14).

Таким образом, амплитуда тока в контуре зависит от сопротивления контура R и соотношения между параметрами контура L, С и частотой изменения внешней ЭДС ω.

При постоянном омическом сопротивлении контура R можно получить максимальную амплитуду тока, если:

ωL = или ω = , (6.15)

тогда: I₀ = ; tgφ = 0; φ = 0. (6.16)

Условие ω = означает, что частота изменения внешней ЭДС равна частоте собственных колебаний контура ω = ω₀.

Равенство частоты изменения внешней ЭДС и частоты собственных колебаний контура называют условием электрического резонанса. При этом, амплитуда силы тока I₀ в контуре достигает максимального значения. Графически зависимость амплитуды тока I₀ от соотношения частот вынужденных колебаний ω и собственных колебаний ω₀ имеет вид:

Таким образом, величина максимума амплитуды тока зависит от величины активного сопротивления контура R. Колебательный контур часто характеризуют его добротностью – это величина, равная произведению 2π на отношение энергии колебательной системы в любой момент времени t к убыли этой энергии за промежуток времени, равный периоду колебаний T. В случае слабого затухания колебаний, добротность контура равна:

Q = . (6.17)

Экспериментальная установка, используемая в данной работе показана ниже

Колебательный контур состоит из катушки индуктивности L, магазина емкости С, переменного сопротивления R и сопротивления R₁, а так же звукового генератора ЗГ.

Контрольные вопросы

1. Какие виды колебательных процессов вам известны?

2. Что такое колебательный контур?

3. Запишите правила Кирхгоффа.

4. Что такое явление электромагнитной индукции?

4. Какие колебания называются собственными, вынужденными?

5. Запишите уравнение вынужденных электромагнитных колебаний?

6. Какова причина затухания колебаний?

7. Что называется логарифмическим декрементом затухания?

8. Чему равен коэффициент затухания?

9. Объяснить характер зависимости затухания колебаний от сопротивления колебательного контура.

10. Какое влияние оказывает индуктивность колебательного контура на коэффициент затухания?

11. Что называется резонансом?

12. Что такое добротность колебательного контура? Чему она равна?

13. Как можно компенсировать расход энергий в колебательном контуре?

14. Какое влияние оказывает индуктивность колебательного контура на коэффициент затухания?

15. Как можно получить вынужденные электрические колебания в колеба­тельном контуре?

Порядок выполнения работы

1. Ознакомиться со схемой установки. Включить установку.

2. Установить на магазине сопротивлений значение R = 5 Ом.

3. При помощи регулятора частоты изменяйте частоту ν от величины:

ν = 40· 10² Гц до ν = 140 · 10² Гц с интервалом, указанном в таблице.

4. Определить соответствующие значения напряжения Uэф по шкале цифрового вольтметра.

5. Произвеcти аналогичные измерения при сопротивлениях контура R=5·10²Ом и R = 3· 10³ Ом.

6. Результаты измерений записать в таблицу 1.

7. Рассчитать амплитуды токов в контуре по формуле:

I₀ = = , где R₁ = 75 Ом

9. Полученные результаты записать в таблицу 1.

10. Построить графики зависимости I0 от ν для трех сопротивлений контура.

11. Рассчитать значения добротности контура при разных сопротивлениях по формуле:

Q = , где L = 0,1 Гн; С = 3 · 10^-9 Ф.

Таблица 6.2

ν · 102, Гц	R= 5 Ом		R = 5 · 102 Ом		R = 3 · 103 Ом
Гц	Uэф, В	I0, А	Uэф, В	I0, А	Uэф, В	I0, А
40
50
60
70
80
85
90
95
100
110
120
130
140