[ Буслов, Яковлев ] Введение в численный анализ
.pdfПостро ни ис сопря нных н пр л ний и спуск по ним
Пусть r1 ïðîè îëüí ÿ òî÷ê è e1 прои ольный иничный ктор. Р ссмотрим прямую r = r1 + e1 и н й м оль этой прямой минимум функции '( ) = (r1 + e1). Бу м счит ть, что ук нный минимум ости тся к к р
òî÷ê r1, òî ñòü 0 = 1 = he1; Ar1 + b=2i. Ан ло ично, пусть н прямой r2 + e1 минимум ости тся точк r2 (0 = 2 = he1; Ar2 + b=2i). Ò êèì î ð îì
|
|
|
|
|
|
|
2 1 = he1; A(r2 r1)i = he1; (r2 r1)iA = 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
и иничный ктор |
e2 |
= |
r2 |
r11 |
|
ок ы тся сопря нным к e1. Ан ло ично, пусть им тся |
m сопря нных |
|||||||||||||
2 |
|
|||||||||||||||||||
кторо e1, e2; : : :, em |
|
|
|
kr r kA |
|
|
|
|
|
|
r1 + iei |
|
r2 + |
|
iei |
|||||
|
|
и ух п р лл льных m-м рных сопря нных плоскостях |
è |
|
||||||||||||||||
минимум ости тся точк х |
r1 |
è |
r2 |
ñîîò òñò ííî, òî êòîð |
r2 |
r1 |
сопря н с м ктор м |
ei m |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
i=1. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
f g |
P |
|
||
Опиш м т п рь посл о т льность йст ий по постро нию ис сопря нных н пр л ний. Пусть |
|
fdigiN=1 |
||||||||||||||||||
ст н ртный ис и мы построили |
m сопря нных кторо , при этом ы роси и р ссмотр ния |
m кторо |
||||||||||||||||||
ст н ртно о ис , ск м, с ном р ми N m + 1,N m + 2, : : : ,N. Пусть |
r0 ïðîè îëüí ÿ òî÷ê , ïðîè ì è |
|||||||||||||||||||
н спуск по сопря нным ктор м |
feigim=1. Поп м при этом н которую точку |
r1. И н прои м спуск по |
||||||||||||||||||
ост шимся ктор м |
f |
d |
N m |
ст н ртно о ис и поп м точку |
r2. Ò ï ðü è |
r2 |
спустимся по сопря нным |
|||||||||||||
|
|
|
gi=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
êòîð ì feigim=1. Поп м при этом н которую точку r3. Точки r1 |
è |
r3 |
я ляются минимум ми функции (r), |
|||||||||||||||||
ух п р лл льных ип рплоскостях, мых сопря нными н пр л ниями. Т ким о р ом |
r3 r1 |
|
íî î |
|||||||||||||||||
сопря нно н пр л ни . До им о к у постро нным и ы росим о ин и кторо |
d |
N m. Ôîðì ëüíî ñ ð íî |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
gi=1 |
|
|
|
|
|
к кой и них ы р сы ть, о н ко ля по ыш ния точности л т льно ы р сы ть тот, при спуск оль которо о функция (r) и м нил сь м ньш с о, сли случ йно он ок лся о ним и сопря нных. Д ло сь том, чтоэтом случ мы н т ря м точность проц сс орто он ли ции. З м тим, что и точки r3 н о хо имо спуститься
ëèøü îëü íî î î í ïð ë íèÿ |
r3 |
r1 , поскольку по ру им сопря нным н пр л ниям спуск у прои н. |
И получ нной при этом точки |
r4 |
прои о ится спуск по ост шимся N m 1 ктор м ст н ртно о ис и |
т. . Т ким о р ом сли ы н оши ки окру л ния, то ля к р тичной функции, прои я N 1 цикло мы ыточности поп ли минимум. О н ко им нно и - оши ок окру л ния это о н прои ой т и проц уру н о хо имо по торить н которо колич ст о р .
З м ч ни . Хотя поняти сопря нных н пр л ний ыло но только ля к р тичной функции, с м опис н- ный проц сс мо но прим нять к прои ольной функции (r), поскольку с м проц ур осно н лишь н поиск минимум оль то о или ино о н пр л ния.
81
82
Ãë 8
Äèôô p íöè ëüíû óp í íèÿ
8.1Î ùè ñ íèÿ
Óð í íè
F (x; u; u0; : : : ; u(n)) = 0
н ы тся о ыкно нным ифф р нци льным ур н ни м n- о поря к , сли F опр л н и н пр ры н н которой о л сти G 2 Rn+2 (n 1) и, о сяком случ , исит от u(n). Е о р ш ни м я ля тся лю я функция u(x), котор я этому ур н нию у о л т оря т при с х x опр л нном кон чном или скон чном инт р л . Дифф р нци льно ур н ни , р р ш нно относит льно ст рш й прои о ной им т и
|
u(n) = f(x; u; : : : ; u(n 1)) : |
(1) |
Р ш ни м это о ур н ния н инт р л I = [a; b] н ы тся функция |
u(x) , ò ê ÿ ÷òî |
|
1) u(x) 2 Cn[a; b] ; |
|
|
2) (x; u(x); : : : ; u(n)(x)) 2 D(f) |
8x 2 I , |
|
3) u(n)(x) = f(x; u(x); : : : ; un 1 |
(x)) 8x 2 I : |
|
8.1.1Ç ÷ Êîøè
З ч й Коши (н ч льной ч й) ля ур н ния (1) н ы тся ч н хо ния т ко о р ш ния ур н ния (1), которо у о л т оря т н ч льным усло иям
u(x0) = u0 ; u0(x0) = u00 ; : : : ; u(n 1)(x0) = u(0n 1) ;
u(0i) н которы нны числ . Спр ли
Ò îð ì Ï íî. Если f - н пр ры н D то ля лю ой точки x0; u0; : : : ; u(0n 1) прин л щ й о л сти D сущ ст у т р ш ни ур н ния (1), опр л нно н которой окр стности точки x0 2 I и у о л т оряющ усло ияю 3).
З м ч ни . Т ор м П но н р нтиру т инст нности.
Ò îð ì Êîøè-Ïèê ð . Если f н пр ры н D и у о л т оря т усло ию Липшиц по п р м нным u; u0; : : : ; u(n 1), òî ñòü
83
|
|
|
n |
|
|
jf(x; 1; 2; : : : ; n) f(x; 1; 2; : : : ; n)j < L |
X |
j k |
kj ; |
||
|
|
|
k=1 |
|
|
то ля лю ой точки (x0; u0; : : : ; u(n 1)) |
2 |
D сущ ст у т инст нно р ш ни (1), у о л т оряющ 3), опр л нно |
|||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
н которой окр стности точки x0 2 I. |
|
|
|
|
|
Лю о ур н ни тип (1) мо но с сти к р носильной му сист м |
|
|
|
||
dui |
= fi(x; u0; u1 : : : ; un 1) ; i = 0; 1; ; : : : ; n 1 ; |
|
|||
dx |
|
ифф р нци льных ур н ний п р о о поря к пут м м ны ысших прои о ных н и стными функциями (ui(x) = u(i)(x)).
Т ор му Коши-Пик р н сло но ок ть осполь о шись т ор мой о н по и ной точк с им ющ о ото р -ния [5]. Д йст ит льно, ур н ни п р о о поря к
u0 = f(x; u; )
u(x0) = u0
эк и л нтно инт р льному ур н нию
x |
|
u(x) = u0 +xZ0 |
f(t; u(t))dt : |
Ïî óñëî èþ f í ïð ðû í è, ñë î ò ëüíî, jf(x; u)j M н которой о л сти D0 Âû ð ì Æ > 0 ò ê, ÷òî û:
1)(x; u) 2 D0, ñëè jx x0j Æ è ju u0j ÆM;
2)ЖL < 1, L конст нт , фи урирующ я усло ии Липшиц .
Пусть C0 простр нст о с х н пр ры ных функций u, опр л нных при jx x0j Æ è ò êèõ, ÷òî ju(x) u0j ÆM
с ст ст нной ля н пр ры ных функций м трикой (u1 |
; u2) = max u1 |
(x) |
|
u2(x) |
. К к мкнуто по простр нст о |
||||
|
|
|
|
x |
j |
|
j |
|
|
полно о простр нст C[x0 Æ;x0+Æ], простр нст о C0 я ля тся полным. У имся, что ото р ни y = Au, опр ля мо |
|||||||||
формулой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
y(x) = u0 +xZ0 |
f(t; u(t))dt ; |
|
|
|
|
|||
ÿ ëÿ òñÿ ñ òè ì C0. Д йст ит льно, пусть u 2 C0 è jx x0j Æ, òî |
|
|
|
||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
jy(x) |
xZ0 |
|
|
ÆM |
|
|
|
||
u0j = |
f(t; u(t)dt |
|
|
|
|||||
è, ñë î ò ëüíî A ï ð î èò C0 ñ ÿ. Ä ë , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jy1(x) y2j xZ0 |
jf(t; u1(t) f(t; u2(t)jdt LÆjju1 u2jjC0 ; |
èпоскольку ЖL < 1, то A с ти и, сл о т льно, C0 сущ ст у т инст нно р ш ни ур н ния u = Au. Ан ло-ично ок ы тся о но н чн я р р шимость чи Коши ля сист мы ур н ний п р о о поря к , , сл о т льно,
èля чи Коши прои ольно о поря к .
8.1.2Êð ÿ ÷
Сформулиру м кр ую чу только ля ур н ний торо о поря к , я ляющуюся о ной и с мых сущ ст нных. Т к я ч им т и :
84
|
|
|
|
u00 |
= f(x; u; u0); x 2 [a; b]; |
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
8 1u(a) + 1u0(a) = 1; |
||
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
< 2u(b) + 2u0(b) = 2; |
||
êð ûõ óñëî èÿõ ñ÷èò òñÿ, ÷òî |
j |
i |
j |
+ i |
j |
= 0, i = 1; 2. В отличи от чи Коши сь н чит льно сло - |
|
|
:j |
6 |
н иссл у тся опрос о сущ ст о нии р ш ния. Оч нь ный и н и ол ч сто стр ч ющийся случ й: лин йноифф р нци льно ур н ни торо о поря к
u00 + p(x)u0 + q(x)u = f(x) ;
кр ую чу ля которо о мы и у м р ссм три ть льн йш м.
8.1.3Ç ÷ òóðì -Ëèó èëëÿ
З ч турм -Лиу илля или ч н со ст нны функции и со ст нны н ч ния я ля тся о но р м нно и кр -ой ч й (с о норо ными кр ыми усло иями) и о ычно писы тся т к н ы мом с мосопря нном и :
dxd hk(x) dudx i + [q(x) r(x)] u(x) = 0 ;
1u(a) + 1u0(a) = 0 ; 2u(b) + 2u0(b) = 0 :
З сь тр у тся н йти т при которых ч р р шим (со ст нны н ч ния) и соот тст ующи им р ш ния u (x) | со ст нны функции, опр ля мы с точностью о постоянно о мно ит ля.
8.1.4Что поним тся по числ нным р ш ни м
Точны ( н литич ски ) м то ы р ш ния т ки м то ы, ко р ш ни ифф р нци льно о ур н ния мо но полу- чить и эл м нт рных функций или к р тур от них, что, ст ст нно, о мо но н с . Числ нны м то ы | м то ы н хо ния р ш ний н н с м пром утк и м н ния н исимой п р м нной, лишь искр тном н -ор точ к x0; x1; : : : ; xN 2 [a; b]. З сь, пр , сл у т отм тить, что мо но иск ть р ш ни и р ло ния ря по н которой полной сист м функций (ск м, ря Фурь ) и о р ть о н н котором чл н . О н ко, опрос о том, к кую сист му функций исполь о ть и к ко колич ст о чл но р ло ния исполь о ть, я ля тся о но р - м нно и числ нным и н литич ским. Числ нны м то ы прим нимы к оч нь широкому кл ссу ифф р нци льных ур н ний. В соот тст ии с умя тип ми ч ля ифф р нци льных ур н ний, числ нны м то ы то лятся н кл сс : Числ нны м то ы р ш ния чи Коши и числ нны м то ы р ш ния кр ой чи и читурм -Лиу илля.
8.2Ç ÷ Êîøè
Р ссмотрим чу Коши ля ур н ния п р о о поря к н отр к [a; b]
u0 = f(x; u) ; u(a) = u0 ; |
(2) |
Ð î ü¼ì ïðîì óòîê [a; b] í N ÷ ñò é a = x0 < x1; < : : : ; < xN . Î î í ÷èì |
u(xi) = ui , u(x) точно р ш ни |
÷è Êîøè è ÷ ð yi í ÷ íèÿ ïðè ëè ííî î ð ø íèÿ òî÷ê õ xi . Ñóù ñò ó ò òèï ÷èñë ííûõ ñõ ì :
1. |
ÿ íû : yi = F (yi k; yi k+1; : : : ; yi 1) |
( ); |
2. |
í ÿ íû : yi = F(yi k; yi k+1; : : : ; yi) |
( ). |
85
З сь F н котор я функция, с я ы ющ я при ли ния. В я ных сх м х при ли нно н ч ни yi òî÷ê xi опр ля тся ч р н которо число k у опр л нных при ли нных н ч ний. В н я ных сх м х yi опр ля тся н р кур нтным о р ом к к я ных сх м х, ля о опр л ния о ник т ур н ни , поскольку р нст о ( ) пр ст ля т и с я им нно ур н ни н yi. ны сх мы прощ , о н ко ч стую н я ны сх мы пр почтит льн .
8.2.1Получ ни я ных сх м
О шиpный кл сс я ных сх м ля p ш ния чи Коши получ тся с помощью р ло ния ря Т йлоp . Выпиш мо ля функции u(x)
u(x + h) = u(x) + hu0(x) + h2 u00 |
(x) + : : : + hn u(n)(x) + : : : : |
|
||||
2 |
n! |
|
|
|
|
|
0 |
00 |
d |
|
0 |
0 |
|
dx f(x; u) |
||||||
Åñëè u(x) p ø íè ÷è (1) u (xi) = f(xi; ui) , è, ñë î ò ëüíî u (xi) = |
xi = fx(xi; ui)+f(xi; ui)fu(xi; ui) . |
|||||
|
|
|
j |
|
|
|
Поступ я л т ким о р ом мо но ыр ить с прои о ны u(k) |
ч р прои о ны и стной функции |
|||||
f(x; u) : |
|
|
|
|
|
|
ui+1 = ui + hf(xi; ui) + h2 [fx0 (xi; ui) + f(xi; ui)fu0 |
(xi; ui)] + : : : : |
(3) |
||||
2 |
|
|
|
|
|
О ры я (3) н том или ином чл н , получ м р личны я ны сх мы ля ычисл ния пpи ли нно о p ш ния с опp л нной ст п нью точности по h.
8.2.2Ñõ ì éë p (ì òî ëîì íûõ)
Ост ляя (3) только чл ны п p о о поpя к по h, получ м при ли нно р нст о: ui+1 ui + hf(xi; ui) : З м няян м точны н ч ния ui = u(xi) í ïðè ëè íèÿ yi, получ м пpи ли нную сх му:
( y0 = y0
; i = 0; 1; : : : ; N :
yi+1 = yi + hf(xi; yi)
Ук нн я проц ур и я ля тся м то ом йл p и им т п p ый поpя ок схо имости по h , сли f(x; u) о р нич н
и о р нич ны п р ы прои о ны по о оим р ум нт м. У имся этом. Пусть c = max f ; |
0 |
|
|
|
0 |
|
. Î î í ÷èì |
|||||||||||||||
fx ; fu |
jg |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x;u fj |
j j |
|
j j |
|
|
|
|||
р ность м у истинным р ш ни м |
uj |
òî÷ê |
xj è í é ííûì ïî ì òî ó éë ð ïðè ëè íè ì |
|
yj |
|
÷ ð vj , |
|||||||||||||||
òî |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
vj+1 = vj + h [f(xj ; uj ) |
|
f(xj ; yj)] + |
1 |
00 |
3 |
) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 u (xj) + O(h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
||||||||||
0 |
|
| |
|
y |
|
j{zj |
j |
} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
f0 |
(x ;y0 )v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
yj н котор я точк м у uj è |
yj |
. З м тим, что поскольку |
y0 = u0 , òî |
v0 = 0 . Òî |
v1 = |
|
h2u00 |
+ O(h ) , è |
||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||||||
ë |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v2 = v1(1 + hfu0 (x1; u01)) + 12 h2u001 + (h3) =
= |
1 |
h |
2 |
|
|
00 |
+ u00 |
|
|
0 |
; u1) |
|
3 |
|||
2 |
|
u1 |
1 + hfu(x1 |
+ O(h ) ; |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
vj+1 = |
1 h2 |
X |
uk00 |
|
Y |
[1 + hfu0 |
(xi; ui)] + O(h3) = |
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
k=0 |
|
i=k+1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
86
|
|
|
|
|
|
|
|
1 h2 |
j |
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
= |
X |
uk00 |
1 + |
X |
hfu0 (xi; ui) |
+O(h3) : |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
k=0 |
|
|
|
|
i=k+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
{z |
|
|
|
} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c(xj xk+1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
f |
|
{z |
|
|
|
g |
|
} |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
exp |
c(xj |
|
xk+1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Поскольку u |
00 |
0 |
0 |
|
00 |
|
c + cc |
|
c1 , è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
= fx + ffu , òî |
j |
u |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Z |
xj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
jvj+1j |
c(x |
x |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
c(x |
|
t) |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
2 hc1 |
k=0 |
he |
|
|
j k |
|
= |
2 hc1 |
x0 |
e |
|
|
j |
|
dt + o(h) = |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= h c1 ec(xj |
x0) + o(h) = O(h) : |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т ким о р ом, м то йл р им т п р ый поря ок точности по h и при ост точно м лом ш при ли нно р ш нили ко к точному.
8.2.3Ì òî û Ðóí -Êóòò
Ì òî Ðóí -Êóòò 2- î ïîðÿ ê
Выпиш м ря Т йлор ля р ш ния ифф р нци льно о ур н ния u(x) |
с точностью о к р тичных чл но |
|
|||||||
uj+1 |
= uj + hf(xj ; uj ) + h2 |
[fx0 |
(xj ; uj ) + f(xj; uj )fu0 (xj; uj )] + : : : : |
(4) |
|||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
{z |
} |
|
||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
u00(xj) |
|
|
|
С м по с т к я сх м у о ится ля при ли нно о р ш ния ифф р нци льно о ур н ния, о н ко н у о - ст о состоит том, что прихо ится ифф р нциро ть функцию f(x; u) по о оим р ум нт м. Если м нить эти прои о ны р ностными, то форм льно мо но пис ть
uj+1 = uj + h[ f(xj ; uj ) + f(xj + h; uj + Æh)] + : : : ; |
(5) |
конст нты ; ; ; Ж н о хо имо опр лить исхо я и то о, что эти пр ст л ния ол ны со п ть с точ- ностью о O(h3) . Äëÿ ýòî î ð ëî èì (5) f(xj + h; uj + Æh) ðÿ Ò éëîð
uj+1 = uj + h( + )f(xj ; uj ) + h2[ fx0 (xj ; uj ) + Æfu0 (xj; uj )] + O(h3) ;
Ср ни я с (4), получ м 3 ур н ния н 4 н и стных коэффици нт : + = 1 , = 12 , Æ = 12 f(xj; uj) . Выр и их ч р и м ни истинны н ч ния uj = u(xj ) í ïðè ëè ííû yj и от роси ку ич ски чл ны получ м н ор р ностных сх м Рун -Кутт 2- о поря к
|
h |
|
h |
|
yj+1 = yj + h[(1 )f(xj; yj ) + f(xj + |
|
; yj + |
|
f(xj; yj))] ; 0 < 1 : |
2 |
2 |
|||
Î û÷íî ïîë þò ð íûì 1/2 èëè 1. |
|
|
|
|
Ì òî Ðóí -Êóòò 4- î ïîðÿ ê
И ло нным ыш спосо ом мо но строить сх мы тип Рун -Кутт р лично о поря к точности по h . В ч стности, м то йл р я ля тся сх мой Рун -Кутт 1- о поря к . Н и ол у о ной и употр ит льной я ля тся сх м 4- о поря к . Он им т сл ующий и
yj+1 = yj + h6 (k1 + 2k2 + 2k3 + k4) ;
k1 = f(xj ; yj) ; k2 = f (xj + h=2; yj + hk1=2) ;
k3 = f (xj + h=2; yj + hk2=2) ; k4 = f(xj + h; yj + hk3) :
87
Н к ом ш личины km р считы ются но о.
x
Инт р сно отм тить, что сли f сть функция только от x , то р ш ни ур н ния сть u(x) = u0 + R f(t)dt , è
x0
формулы Рун -Кутт пр р щ ются формулы при ли нно о инт риро ния. М то у йл р соот тст у т формул л ых прямоу ольнико , м то у Рун -Кутт 2- о поря к с = 1 соот тст у т формул ср них, с = 1=2формул тр п ций. Н кон ц, м то у Рун -Кутт 4- о поря к соот тст у т формул Симпсон с ш ом h=2 . то кос нно с и т льст у т о поря к точности той или иной сх мы.
Ест ст нным о р ом сх мы Рун -Кутт о о щ ются н случ й сист м ур н ний 1- о поря к при помощи фор- м льной м ны функций y(x) и f(x; y) н ктор-функции y(x) и f(x; y) . При этом, поскольку, ур н ни n- о поря к эк и л нтно сист м и n ур н ний 1- о поря к , то м то ы Рун -Кутт мо но прим нять к ч Кошиля ур н ний поря к ыш 1- о. В ч стности, р ссмотрим чу Коши ля ур н ния 2- о поря к
|
|
|
|
u00 = f(x; u; u0) |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
8u(x0) = u0 |
|
|
: |
|
|
|||||
|
|
|
> |
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
> |
u |
(x0) = u0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Î î í ÷èì u0 = v è ì êòîð u |
= v |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, то сист м приним т и |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
d |
|
u |
= |
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
u = f(x; u) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
8 |
dx |
v f(x; u; v) : |
|||||||||
|
u(x0) = u0 |
|
|
|
|||||||||
|
|
> |
|
u(x0) |
|
= |
u0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
yj |
|
|
|
> v(x0) u0 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
Åñëè ñòè êòîð yj = |
zj , при ли ний к истинному р ш нию uj òî÷ê xj , è êòîð |
||||||||||||
р сч тных коэффици нто , то м то Рун -Кутт 4- о поря к приним т и |
|
||||||||||||
|
|
yj+1 |
|
|
yj + h(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)=6 |
||||||||
|
y(j+1) |
= zj+1 |
= zj + h(q1 + 2q2 + 2q3 + q4)=6 |
||||||||||
|
k1 = zj ; k2 = zj |
+ h q1 |
; k3 = zj + h q2 ; k4 = zj + hq3 ; |
||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
h |
h |
|
q1 = f(xj; yj; zj) ; q2 = f(xj + 2 |
; yj + |
2 k1; zj + |
2 q1) ; |
|||||||||
q3 |
= f(xj + h |
; yj + h k2; zj + h q2); q4 = f(xj + h; yj + hk3; zj + hq3) : |
|||||||||||
|
2 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
km
km = qm
8.2.4Ì òî û À ìñ
í ÿ ñõ ì À ìñ
Р ссмотр нны ыш сх мы я ляются я ными о нош о ыми ( ля н хо ния посл ующ о при ли ния исполь-у тся лишь о но пр и ущ ) сх м ми. При о имы ни м то ы я ляются мно ош о ыми. Они мо ут ыть к к я ными, т к и н я ными.
Пусть н ч Коши
u0 = f(x; u);u(a) = u0:
Для точно о р ш ния u(x) (которо н м н и стно) ыполн но
Z xn+1
u(xn+1) = u(xn) + f(x; u(x))dx : (6)
xn
Ïð ïîëî èì í ì è ñòíû ïðè ëè ííû í ÷ íèÿ yi функции u(x) k точк х xn k+1, xn k+2, : : : ; xn (ст рто ы k точ к, ч стности, мо но н йти м то ом йл р или м то ми Рун -Кутт то о или ино о поря к ), то функцию
88
f(x; u(x)) (6) ля при ли нно о ычисл ния инт р л мо но м нить н инт рполяционный полином Pn;k(x)
поря к k 1, постро нный по k точк м fxi; f(xi; yi)gn , инт р л от которо о счит тся я но и пр ст ля т со ой
n k+1
ëèí éíóþ êîì èí öèþ í ÷ íèé fi = f(xi; yi) с н которыми мно ит лями i. Т ким о р ом мы получ м сл ующую р кур нтную проц уру ычисл ния при ли нных н ч ний yi функции u(x) (я ляющ йся точным р ш ни м чи Коши) точк х xi
|
xn+1 |
k |
|
|
|
xZn |
|
|
|
|
X |
|
|
|
yn+1 = yn + |
Pn;k(x)dx = yn + |
|
if(xn+1 i; yn+1 i) : |
(7) |
i=1
Опис нн я сх м н ы тся k-ш о ой я ной формулой А мс .
Í ÿ í ÿ ñõ ì À ìñ . Ì òî ïðî íî -êîðð êöèè
Пусть Pn+1;k+1(x) инт рполяционный полином поря к k, постро нный по k + 1 н ч нию fn k+1; : : : ; fn; fn+1, о но и которых, им нно fn+1, мы у м счит ть н и стным. Мо ифициру м (7) м ни н м Pn;k н полином олысокой ст п ни Pn+1;k+1, инт р л от которо о ыр тся и лин йной ком ин ции н ч ний fi с н которыми но ыми коэффици нт ми i :
xn+1
yn+1 = yn + Z Pn+1;k+1 xn
|
k |
|
|
|
dx = yn + |
X |
ifn+1 i + 0f(xn+1 |
; yn+1) : |
(8) |
i=1
Формул (8) пр ст ля т со ой н я ную сх му А мс и я ля тся ур н ни м н yn+1, которо мо но р ш ть ск м м то ом посл о т льных при ли ний. Ест ст нно, что н ч льно при ли ни yn0+1 , ол но ыть р умно ы р - но. Для это о у о но о ъ инить я ную и н я ную сх мы А мс о ну, н ы мую м то ом "про но -корр кции". Им нно, с помощью я ной сх мы опр ля тся н ч льно при ли ни yn0+1 (про но ), т м по н я ной сх м оно н о хо имо число р (о ычно о ин или ) корр ктиру тся м то ом посл о т льных при ли ний о ости ния
нной точности (корр кция):
8 |
|
k |
|
|
|
|
|
> |
: yn0+1 = yn + ifn+1 i ; |
|
|
||||
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
: ym+1 |
= yn +P |
ifn+1 |
|
i + 0f(xn+1 |
; ym |
) : |
|
< |
n+1 |
|
|
|
n+1 |
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
> iP=1
Ïðèì ð. Пусть k р но 1 и h = xn+1 xn. В этом случ "про но "пр ст ля т со ой инт риро ни по формул л ых прямоу ольнико , со п ющ нном случ с м то ом йл р , "корр кция инт риро ни по формул тр п ций:
( : yn0+1 = yn + hfn ;
: yn+1 = yn + h2 (fn + fn+1) :
Посл нюю формулу н о хо имо поним ть к к ур н ни н yn+1 (и, соот тст нно, н fn+1 = f(xn+1 ; yn+1)), которо р ш тся м то ом посл о т льных при ли ний.
8.3 |
Êð ÿ ÷ |
|
|
8.3.1 |
Ì òî ñòð ëü û |
|
|
Р ссмотрим кр ую чу ля ур н ния торо о поря к |
|
||
|
> |
y00(x) = f(x; y; y0) ; x 2 [a; b] ; |
|
|
8 |
1y(a) + 1y0(a) = 1 ; |
(9) |
|
: |
89 |
|
|
>< |
2y(b) + 2y0(b) = 2 : |
|
П р й м от этой чи к сист м ур н ний п р о о поря к . Пусть u(x) = y(x) и v(x) = y0(x) . Òî óð í íè
(9) ï ð õî èò
u0 |
= v; |
v0 |
(10) |
= f(x; u; v); |
|
кр ы усло ия приним ют и |
|
1u(a) + 1v(a) = 1; |
(100)
2u(b) + 2v(b) = 2:
Ò êèì î ð îì èñõî í ÿ êð ÿ ÷ ñ ë ñü ê ÷ 1- î ïîðÿ ê ëÿ ñèñò ìû óõ óð í íèé.
М то стр ль ы это п р хо к р ш нию н которой чи Коши ля сист мы (10). Вы р м прои ольно u(a) =. Т п рь опр лим v(a) и п р о о и усло ий (100).
v(a) = 1 1( 1 1 ) ( ) :
Д л , р ссмотрим т п рь сист му (10) с н ч льными усло иями
u(a) =
v(a) = ( ) :
Т к я ч я ля тся ч й Коши. Р шим н которым спосо ом (н прим р, м то ом Рун -Кутт 4- о поря к ). Р ш ни (u ; v ) н рняк н у т у о л т орять торому кр ому усло ию. О о н чим ч р о ник ющую н я ку:
2u(b) + 2v(b) 2 = ( ) :
З ч состоит отыск нии т ко о , при котором н я к о р щ тся ноль: ( ) = 0 , что соот тст у т у о л - т ор нию торо о кр о о усло ия. В рьиру м (стр ль ) пристр лочный п р м тр о т х пор, пок н о р у тсяилк : i : ( i) ( i+1) < 0 , òî ìî íî óò ð òü, ÷òî 2 [ i; i+1]. Посл то о, к к пром уток н котором н хо ится кор нь функции ( ) н й н, лим отр ок [ i; i+1] попол м и ы ир м ту о ч сть, н конц х которойим т р ны н ки, и т к л , о ости ния тр у мой точности.
Ç ì ÷ íè . ïðè ê îì û ð ííîì i н о хо имо р ш ть чу Коши ифф р нци льно о ур н ния (10) с н - ч льными нными
u(a) = i ; v(a) = ( i) :
8.3.2М то с ток (р ностный м то )
Р ссмотрим р ностный м то н прим р сл ующ о ифф р нци льно о ур н ния торо о поря к :
|
|
|
u00 + q(x)u = f(x) |
[a; b]; |
|
|
|
(11) |
|||||||
|
|
u(a) = A ; u(b) = B ( ) : |
|
|
|
|
|||||||||
Ð î ü ì ïðîì óòîê í N ÷ ñò é: a = x0 < x1 < : : : < xN |
= b . Пусть ш с тки постоянный: xi xi 1 = h . |
||||||||||||||
Аппроксимиру м торую прои о ную u00(xi) р ностной: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
u00(xi) = |
u(xi+1) |
|
2u(xi) + u(xi |
|
1) |
|
u(4)(xi)h2 |
4 |
|
||||||
|
|
h2 |
|
|
|
|
12 |
|
|
+ O(h |
) ; |
||||
ыр ни ля которой л ко получить и ря Т йлор |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
u0(xi)h + |
u00 |
(xi)h2 |
|
|
u000 |
(xi)h3 |
|
u(4)(xi)h4 |
|||||
u(xi h) = u(xi) |
|
2 |
|
|
|
6 |
+ |
|
24 |
+ : : : ; |
90