[ Буслов, Яковлев ] Введение в численный анализ

я ля тся м то Г усс . Вн ч л исхо н я сист м при о ится к рхн тр у ольному и у. то ости тся сл ующ й посл о т льностью пр о р о ний (прямой хо м то Г усс ). Бу м счит ть ля у о ст , что эл м нты aij исхо ной м трицы и компон нты ктор bi ñòü ñîîò òñò ííî ýë ì íòû a(1)ij п р о о ш пр о р о нной м трицы

A1 è ïð î ð î ííî î êòîð b1: A = A1 ; b = b1. Д л , н тором ш при им к торой строк п р ую,

61

Р ш ни получ нной тр у ольной сист мы Ux = f (U = AN ; f = bN ), ê ê ë êî è òü, èì ò è (î ð òíûé õî ì òî Ã óññ )

З м тим, что при прямом хо м то Г усс мо т о никнуть ситу ция, ко происхо ит л ни н нуль, иоо щ л т льно н лить н м ло число, что ы н н к пли л сь оши к . Поэтому м то Г усс о ычно про о ят с ч стичным ы ором л но о эл м нт , то сть посл к о о ш (пусть это ыл k-й ш ) п р ст ляют строки с ном р ми k ; k + 1 ; : : : ; N т ким о р ом, что ы н м ст kk ок лся эл м нт a(mkk) , н и ольший и с х k-ом стол ц при m > k (при этом, ст ст нно, п р ст ляются и компон нты ктор b).

Мо но ля м ксим льной точности п р ст лять т к и стол цы пр о р у мой м трицы, что ы н м ст kk ок лся м ксим льный эл м нт и с х с ин кс ми ольш ли о р ными k. т проц ур н ы тся м то ом Г усс с ы ором л но о эл м нт . Он н сколько по ыш т точность по ср н нию с ч стиным ы ором л но о эл м нт , но сьм н у о н , том числ и ля про р ммиро ния, поскольку при п р ст но к строк компон нты искомо о ктор x п р ст лять н н о, то к к при п р ст но к стол цо н о п р ст лять и соот тст ующи компон нты ктор x.

Опиш м о р тный хо м то Г усс н сколько иной форм (тр у ольно р ло ни ). В м м трицы Mk ïî ïð èëó

то н к ом ш м то Г усс получ тся н котор я пром уточн я м триц Ak+1 =MkMk 1 : : : M1A , и ктор fk+1 = MkMk 1 : : : M1b . Н тру но и ть, что

Вопрос. Ïî÷ ìó det U = det A?

Если прои о ить т к ы ор л ных эл м нто , то н о хо имо исполь о ть оп р тор P п р ст но ки ин ксо

pml = plm = 1 . При прим н нии оп р тор п р ст но ки ин ксо к м триц сл , м няются м ст ми строки м трицы и компон нты с о о но о ктор (P Ax = P b) , сли о прим нить спр к м триц , то м няются м ст ми

стол цы и компон нты р ш ния (A P P x = b).

|{z}=I

5.2.3L-R ð ëî íè

Для р ш ния чи Ax = b н сколько мо ифициру м . Им нно м N (N + 1) м трицу

62

N

xN = rN;N+1 ; xi 1 = ri;N+1 X rikxk : k=i+1

Вычисл ния по и ло нному м то у тр уют р м ньший о ъ м п мяти, ч м по м то у Г усс .

5.2.4Ì òî ïpî îíêè

Пусть A тр х и он льн я м триц , которую мы пр ст им и :

63

Р ссмотрим т п рь к ким о р ом прим ня тся м то про онки. Н п p ом эт п (пpямой хо пpо онки) мы опp -ля м коэффици нты k ; k ÷ p è ñòíû í ì ýë ì íòû ì òpèöû A (bk ; ck ; ak) , íû í ÷ íèÿ sk è ïp û óùè k 1 ; k 1:

компон нт tk . Èì ì

64

tN = N tN+1 + N ;

ïðè ýòîì N = 0 , ò.ê. bN = 0 , N = bN . Ò êèì î ð îì

cN N 1aN

tN = N ( ) ;

tk = ktk+1 + k ( ) :

Óò p íè (Дост точно усло и p p шимости пpо онки): Пусть jckj > jbkj + jakj , k = 1 ; : : : ; N , òî

det A =6 0.

Äîê ò ëüñò î. Н о хо имо у иться, что н м н т ль фоpмул х пpямо о хо н о p щ тся нуль. Для это оост точно у иться том, что j kj < 1. Â ü ñëè ýòî ò ê, òî

jck k 1akj jckj j k 1jjak j > jckj jakj > jbkj 0

и н происхо ит л ния н нуль. Им м :

j=1

мо т ыть р ш н н только прямыми м то ми, но т к и ит р ционными. Р ум тся мы пр пол м, что сист м

р носильно тому, что aii =6 0 ; i = 1 ; : : : ; N ( сли исхо но это н т к, то п р ст но кой строк и стол цо это о с

мо но о иться при det A =6 0 ). Òî (1) ï ð ïèñû òñÿ è Dx = b Bx, èëè

x = D 1b D 1Bx :

Пр ло им сл ующую ит р ционную проц уру

Î î í ÷èì D 1b = u ; D 1B = T , то ит р ционный проц сс приним т и

Ò îð ì 1. Ïðîö ññ (2) ñõî èòñÿ, ëÿ ëþ î î í ÷ ëüíî î êòîð , ñëè jjD 1(A D)jj = jjT jj < 1 :

Äîê ò ëüñò î. Для ок т льст ост точно м тить, что ото р ни x ! u T x ÿ ëÿ òñÿ ñ òè ì.

Т ким о р ом посл о т льность xs им т пр л. Пусть x = lim xs, òî x = u Tx , èëè î ð ù ÿñü s!1

к исхо ной формулиро к Ax = b . Ит к ля схо имости и ло нно о м то , н ы мо о м то ом простых ит р ций, н о хо имо что ы

65

jjD 1(A D)jj < 1 :

5.2.5Ì òî Ç é ëÿ

Мо ифициру м м то простых ит р ций, коор ин тную форму которо о, ч стности, мо но пис ть и

ы исполь о ть ля опp л ния ол точно о посл ующ о при ли ния xs+1 . Мо ифициру м соот тст ующим о р ом м то простых ит р ций, м ни сумм компон нты xsj í xsj+1 . Т ким о р ом мы получ м но ую ит р ционную проц уру

Т кой ит p ционный пpоц сс н ы тся м то ом З й ля. Пр ст им о м тpичной фоpм . Пусть L ни н тр -

Ê ê è p íüø ì ì òpèöó D = diagfa11 : : : aNN g , то A = D + L + U . В м тричном и м то З й ля им ти :

xs+1 = D 1b D 1Lxs+1 D 1Uxs :

5.2.6Схо имость м то З й ля

Èò ê, èò p öèè ïî ì òî ó Ç é ëÿ îë íû ûòü îp íè î íû ò êèì î p îì, ÷òî û

Dxs+1 = b Lxs+1 Uxs ;

èëè

xs+1 = (D + L) 1b (D + L) 1Uxs :

Îòî ð íè x 7!(D + L) 1b (D + L) 1Ux ÿ ëÿ òñÿ ñ òè ì, ñëè jj(D + L) 1Ujj < 1 , ò êèì î ð îì ñïð ëè Ò îp ì . Ì òî Ç é ëÿ ñõî èòñÿ, ñëè jj(D + L) 1U jj < 1.

Усло ия этой т ор мы о ольно тpу но пpо pя мы, т к к к м тpиц (D + L) 1U ол н щ и ычисляться. Сущ ст у т ост точно пpостой пpи н к схо имости м то З й ля, котоpый с я н с поняти м поло ит льной опp -л нности м тpицы относит льно ск ляpно о пpои ния. Н помним, что оп р тор A, йст ующий кли о ом простр нст En í û òñÿ ïîëî èò ëüíî îïð ë ííûì, ñëè

66

hAx; xi hx; xi ; > 0 :

Åñëè îï ð òîð ïîëî èò ëüíî îïð ë í, òî ó í î ñóù ñò ó ò è î ð òíûé è îí ò ê ïîëî èò ëüíî îïð ë í. Ò ê

íî îòì òèòü, ÷òî ñëè îï ð òîð A ïîëî èò ëüíî îïð ë í è ñèìì òðè÷ í RN , òî ôîðì

hx; yiA = hAx; yi

у о л т оря т с м с ойст м ск лярно о прои ния. В льн йш м ф кт поло ит льной опр л нности оп р - тор A у м о о н ч ть: A > 0 . З м тим, что компл ксном кли о ом простр нст ф кт поло ит льной опр л нности п р тор A том тич ски л ч т со ой эрмито ость: A = A .

Ò îð ì ( ост точный при н к схо имости м то З й ля). М то З й ля схо ится щ ст нном кли о ом простр нст сли A симм тричн я поло ит льно опр л нн я м триц .

Äëÿ îê ò ëüñò ýòîé ò îð ìû í ì ïîòð ó òñÿ ñë óþù ÿ

Л мм .Пусть посл о т льность кторо zk опр л н р кур нтным соотнош ни м

B 12 A > 0 ; A > 0 ; òî zk ! 0 .

Äîê ò ëüñò î. Ïð ñò èì zk è

zk = 12 (zk+1 + zk) 12 (zk+1 zk) ;

è ïî ñò èì ýòî ïð ñò ë íè (3), òî

B(zk+1 zk) + 12 A(zk+1 + zk) 12 A(zk+1 zk) = 0 ;

èëè

сни у поскольку jzkjA 0 . Ò êèì î ð îì ñóù ñò ó ò êîí ÷íûé ïð ë lim jzkjA = a . Íî òî è òî î ð íñò k!1

ñë ó ò, ÷òî íîðì jzk+1 zkj(B 12 A) стр мится к нулю, н чит и zk+1 zk ! 0 ; k ! 1 . В рн мся т п рь к опр л нию посл о т льности zk :

Azk = B(zk+1 zk) ;

îòêó zk = A 1B(zk+1 zk) è, ñë î ò ëüíî,

jjzkjj jjA 1Bjj jjzk+1 zkjj ! 0 ;

è ò êèì î ð îì zk ! 0, ïðè k ! 1.

67

Приступим т п рь со ст нно к ок т льст у ост точно о при н к схо имости м то З й ля. К к н тру нои ть, м то З й ля (D + L)xs+1 + Uxs = b ìî ò ûòü ïð ñò ë í è

D + L 12 A = D + L 12 (D + L + U) = 12 (D + L U) :

Р ссмотрим соот тст ующую к р тичную форму

h(D + L U)x; xi = hDx; xi + hLx; xi hLx; xi :

З м тим, что поскольку A симм тричн я м триц , сл о т льно LT = U è

hLx; xi = hx; LT xi = hx; Uxi = hUx; xi ;

поэтому

Xaiix2i > 0 ;

i

поскольку у поло ит льно опр л нной м трицы с и он льны эл м нты ольш нуля (поч му?): aii > 0 . Т ким о р ом мы н хо имся усло иях Л ммы, и, сл о т льно, посл о т льность zs стр мится к нулю, отку сл у т, что посл о т льность xs = u + zs стр мится к истинному р ш нию u .

68

Ãë 6

Àë ð è÷ ñêè ñï êòð ëüíû ÷è

6.1Н которы с ния и м тричной т ории

xi , то они о р уют ис, и, сл о т льно, сущ ст у т у льный ис x~i . В этом случ , к к н тру но у иться,

ны, л р ич ск я и ом трич ск я кр тности лю о о со ст нно о н ч ния со п ют, со ст нны ктоpы xi , от ч ющи р личным со ст нным числ м орто он льны, и сущ ст у т ортонормиро нный ис и со ст нныхкторо . В случ о нокр тно ыро нно о со ст нно о н ч ния от ч ющий му со ст нный про ктор P о ном р н и им т и P = h ; xix ( сю у счит м, что со ст нный ктор x нормиро н н иницу). Если по простр нст о р ш ний Ax = x ол ч м о ном рно, то н м ы ир тся прои ольный орто ис xi è ñî ñò ííûé

69

про ктор от ч ющий со ст нному числу пр ст ля т со ой сумму соот тст ующих о ном рных про кторо

P = Ph ; xiixi .

Отм тим (л ко про ря мо ) но с ойст о орто он льных про кторо :

PiPk = ÆikPi :

Ст п нь оп р тор им т сл ующую пись ч р орто он льны про кторы

Am = X mk (A)Pk :

k

Мно очл ны от оп р тор опр ляются к к сумм соот тст ующих ст п н й. Поскольку мно очл н ми мо но пpи-ли ить лю ую функцию, то функцию от оп р тор ст ст нно опр лить к к

f(A) = Xf( k)Pk :

k

Со ст нны функции у оп p тоp и у функции от оп p тоp со п ют, то к к со ст нны н ч ния функции от оп р тор сть числ f( k).

6.2Cо ст нны числ эрмито ых м триц

6.2.1Инт рполяционный м то

Поскольку со ст нны числ i м трицы A я ляются корнями х р кт ристич ско о полином FA( ) = det(A I) ; òî

мо но ычислить FA( ) (n+1)-îì í ó û ð ííîì í ÷ íèè (èõ ñò ñò ííî û èð òü ïðîì óòê ( jjAjj; jjAjj),сли р ницы сп ктр и стны; оц нить их мо но по м ксим льному по мо улю эл м нту м трицы) и построить по ним

инт рполяционный полином ст п ни n, который со п т со ст нно с х р кт ристич ским, посл ч о опр ляютсяо корни. тот м то прим ним и ля н эрмито ых м триц (при соот тст ующ м ы ор м то опр л ния корн й).

6.2.2Í õî íè ì êñèì ëüíî î ïî ìî óëþ ñî ñò ííî î í ÷ íèÿ

Для у о ст у м счит ть, что со ст нны числ пронум ро ны поря к у ы ния их мо уля.

) Ì òî èò p öèé

Пусть g = g0 прои ольный н ч льный ктор. Опр лим посл о т льность