[ Буслов, Яковлев ] Введение в численный анализ
.pdf
|
|
|
|
= i!(N i)!( 1)N i hN : |
|
|
||||||||||||
Ò êèì î p îì |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i = ( 1)N i |
|
|
|
N |
|
|
jh) dx : |
|||||||||
|
|
|
|
j=0(x x0 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
Q(x x0 ih) |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Za |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
i!(N i)!hN |
|
|
|||||||||||||
Ïîëî èì x x0 |
= q ; a = x0 ; b = xN |
è ì òèì, ÷òî |
h |
|
= |
1 |
, òî |
|
|
|
|
|||||||
b a |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
( 1)N i |
|
|
|
|
|
N |
j) |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
j=0(q |
|
|
|||||||
|
|
i = |
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
dq |
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
Z0 |
Qq i |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
i!(N i)! |
|
|
|
|
Оконч т льно, о ычно о ят н сколько pу и коэффици нты, н ы мы коэффици нт ми Кот с : Hi = b 1a i ; при этом к р турн я формул приним т и
|
|
|
b |
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
Za |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x)dx = (b a) |
X |
Hif(xi) + R(f) : |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
i=0 |
|
|
|
С ойст коэффици нто Кот с Hi: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
Hi = 1 ; |
|
|
|
|
|
|
|
||
i=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) Hi |
= HN |
|
i . |
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Äîê ò ëüñò î. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1) Поскольку к р турн я формул Ньютон -Кот с точн ля полиномо ст п ни н пр осхо ящ й N , то |
||||||||||
ч стности сли ять к ч ст функции |
f функцию то ст нно р ную 1, то |
|||||||||
|
|
|
b |
|
N |
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
dx = (b a) |
|
Hif(xi) = (b a) |
|
Hi = (b a) ; |
|||
|
|
|
Za |
|
i=0 |
|
|
|
i=0 |
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
X |
|
отку с ойст о 1) сл у т н поср ст нно. 2) Коэффици нт Hi р н
Hi = 1 ( 1)N i
N i!(N i)!
ïðè ýòîì
N
N |
|
(q j) |
|
|
|
j=0 |
|
Z0 |
dq |
Qq i |
; |
HN |
|
i = |
1 |
( 1)N N+i |
|
|
|||
|
|
N (N i)!(N N + i)! |
||
|
|
|
N
N |
(q j) |
Z0 |
|
|
|
|
|
j=0 |
|
|
dq |
qQ N + i |
= |
|
( |
|
1)i |
|
N |
|
|
|
|
|
N |
j=0(q j) |
|
||||
= |
|
|
|
dq |
|
|
: |
|
|
i)!i! |
N + i |
||||||
|
N(N |
|
Z0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Ïðîè ì ì íó ï ð ì ííîé q N = p ; dq = dp, òî
|
|
N |
(q j) |
N |
|
|
|
Z0 |
|
|
|
|
|
j=0 |
|
|
dq |
qQ N + i |
îòêó HN i = Hi.
|
|
N |
|
|
N |
|
N |
|
(N p j) |
N |
|
(p j) |
|
|
|
j=0 |
|
|
j=0 |
|
= Z0 |
dp |
Q (p i) |
= ( 1)N Z0 |
dp |
Qp i |
; |
41
4.2.2Оц нк по p шности к p туpных фоpмул Ньютон -Êîò ñ
Для по р шности инт рполиро ния |
r(x) функции |
f(x) |
инт рполяционным полиномом p(x) у н с ыло получ но |
||||||||
ûð íè |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(N+1)( ) |
|||
|
|
|
r(x) f(x) pN (x) = |
|
(N + 1)! NN+1(x) ; |
||||||
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
òî÷ê èñèò îò |
x |
: = (x) è NN+1(x) = |
Q |
(x |
xi) . Ò êèì î ð îì |
||||||
|
|
|
|
|
i=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
b |
f(N+1)( ) |
||
|
|
RN (f; 1) = Za |
rn(x)dx = Za |
|
|||||||
|
|
|
(N + 1)! NN+1(x)dx ; |
||||||||
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jRN (f; 1)j jjf((NN+1)+jj1)!C[a;b] |
b |
|||||||
|
|
|
Za |
NN+1(x)dx : |
|||||||
В ч стности, сли f(x) |
это полином ст п ни deg f N |
òî |
|
RN (f; 1) = 0 , òî ñòü éñò èò ëüíî ê p òópí ÿ |
|||||||
фоpмул Ньютон -Кот с с |
(N + 1) |
у лом точн ля полиномо ст п ни н пр осхо ящ й N. |
4.3Ôîpìóëû Ã óññ -Кpистоф ля
4.3.1Пр лы л р ич ской ст п ни точности
Выясним к кой мо т ыть л р ич ск я ст п нь точности M к р турной формулы с L у л ми x1; x2; : : : ; xL :
|
b |
L |
|
|
|
Za |
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
f(x) (x)dx |
k=1 |
kf(xk) : |
(6) |
Ч стичный от т н этот опрос т |
|
|
|
|
Ë ìì . |
|
|
|
|
) ëÿ ëþ îé ê p òópíîé ôîpìóëû M 2L 1; |
|
|
|
|
) ëÿ ëþ îé ííîé ñèñò ìû ó ëî fxigiL=1 ñóù ñò óþò ò êè k, что л p ич ск я ст п нь точности |
M |
L 1. Äîê ò ëüñò î.
) Сн ч л при м н стро о р ссу ни . По счит м число с о о ных п p м тpо к p туpной фоpмулы. Оно р но 2L (L со i è L ó ëî xi). Полином ст п ни M со р ит M + 1 п p м тp. Пpиp ня м эти личины: M + 1 = 2L, то сть M н мо т пp осхо ить 2L 1.
Стpо о ок т льст о состоит том, что мы пpосто пp ло им полином стп ни 2L, ля котоpо о (6) н мо т
|
|
L |
(x xi)]2, то f(x) 0 и поскольку с (x) н отриц т л н и н |
||
ыть то ст ом. Д йст ит льно пусть f(x) = [ |
i=1 |
||||
|
b |
Q |
|
L |
|
|
|
|
|
kf(xk) = 0, поскольку f(xk) = 0. |
|
р н то ст нно нулю, то f(x) (x)dx > 0, с ру ой стороны |
|
||||
|
a |
|
|
k=1 |
|
) Â ì ìîì íòû |
R |
|
|
P |
|
b
cl = Z xl (x)dx :
a
Если (6) стpо о p нст о ля полиномо ст п ни о M, то ол но ыть ыполн но:
42
b |
L |
|
Za |
|
|
X |
|
|
xl (x)dx = cl = |
|
kxkl ; l = 0 ; 1 ; : : : ; M |
|
k=1 |
|
Ç ì òèì, ÷òî ýòî ñèñò ì è M + 1 ëèí éíî î óp í íèÿ í L ÷èñ ë k и он ст но ится о но н чно р р шимой при M = L 1, поскольку опp лит ль этой сист мы опp л лит ль В н pмон и, сл о т льно, отлич н от нуля, поэтому с k ñóù ñò óþò è èíñò ííû. Îòì òèì ò ê , ÷òî ÿ íî ûð íè ëÿ ñî èì ò è
b
k = |
Za |
Y |
(x xj) |
|
(x)dx ; |
(7) |
||
|
|
|||||||
|
6 |
(xk |
|
xj ) |
|
|
||
|
|
j=k |
|
|
|
|
|
|
÷òî ñò ñò ííî ñî ï ò ñ (5) ïðè (x) 1.
Ит к, л р ич ск я ст п нь точности н мо т пр ыш ть личину 2L 1, мо т ли он р няться этому числу? Д , мо т!
Îïð ë íè . К p туpны фоpмулы н и ысш й л p ич ской ст п ни точности (M=2L-1) н ы ются к р - турными формул ми Г усс -Кристоф ля.
З йм мся постpо ни м формул Г усс -Кристоф ля. Если у лы у и стны, то с мо но k опp лить исполь-уя опр лит ль В н pмон ( и получить ыр ни (7)), но это p нтиpу т л p ич скую ст п нь точности лишьо н ч ния M = L 1. Зн чит опpос ключ тся "p умном"p споло нии у ло xk. Для р ш ния этой чи н м потр уются н которы с ния о орто он льных полином х (корни которых и я ляются у л ми к р турных формул Г усс -Кристоф ля).
4.3.2 Оpто он льны полиномы
Ò îp ì . Пусть н со я функция со с ойст ми 1)-3), то L2; сущ ст у т и инст нн полн я сист м оpто он льных полиномо Pn(x) :
b
|
Za |
|
hPn; PmiL2; = |
Pn(x)Pm(x) (x)dx = ÆnmjjPnjjL2 2; |
; |
ò ê ÿ ÷òî degPn = n . |
|
|
Н помним,что сист м кторо f'ig нормиро нно о простр нст E, н ы тся полной сли н им ньш мкнуто (т. . со р щ с с ои пр льны точки) по простр нст о, со р щ f'kg ; сть с E. В кон чном рном нормиро нном простр нст сяко по простр нст о том тич ски мкнуто. скон чном рном случ это н т к.
Н прим р, простр нст н пр ры ных функций C[a;b] (со с о й нормой: |
jj |
f |
jj |
= max |
f(x) ) полиномы о р уют по - |
||||
|
|
x2[a;b] j |
|
j |
xk |
1 |
|
||
простр нст о, но н мкнуто . О н ко, силу т ор мы В й ршр сс , сист м функций |
f |
я ля тся полной |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
gk=0 |
|
C[a;b].
Äîê ò ëüñò î. Док м сущ ст о ни и инст нность пpо pки полноты. Пp ъя им эти полиномы с точ-
ностью о мно ит ля я но: |
|
|
|
|
|
|
c0 |
c1 |
: : : |
cn |
|
|
|
||||
|
c1 |
c2 |
: : : cn+1 |
|
|
Pn(x) = An |
: : : |
: : : |
: : : |
: : : |
: |
|
cn 1 |
cn |
: : : c2n 1 |
|
|
|
1 |
x |
: : : |
xn |
|
Ç ñü, An нормиро очны конст нты. Для про рки сущ ст о ния, н о хо имо у иться, что Pn ? xm ; m < n . Ä éñò èò ëüíî
43
|
|
|
|
|
c0 |
c1 |
: : : |
cn |
|
|
|
b |
b |
|
c1 |
c2 |
: : : cn+1 |
|
|||
Za |
xmPn(x) (x)dx = An Za |
xm |
: : : |
: : : |
: : : |
: : : |
(x)dx = |
|||
|
|
|
|
|
cn 1 |
cn |
: : : c2n 1 |
|
||
|
|
|
|
|
1 |
x |
: : : |
xn |
|
|
|
|
c0 |
c1 |
: : : |
cn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
= An |
: : : |
: : : |
: : : |
: : : |
|
|
= 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
cn 1 |
cn |
: : : |
c2n 1 |
|
|
|
||
|
|
cm cm+1 : : : |
cm+n |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сли m n 1 (опp лит ль с умя о ин ко ыми стpок ми). Т ким о р ом орто он льны полиномы сущ ст уют. Поскольку ст п ни xm лин йно н исимы, то оpто он льны полиномы мо но т к постpоить и ст н pтной
ïpîö ópîé îpòî îí ëè öèè (Ãèëü ðò - ìè ò ):
P0 = |
|
1 |
|
; P1 = |
|
|
x hx; 1iL2; 1 |
|
; : : : ; |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
jj1jjL2; |
|
|
|
|
|
jjx hx; 1iL2; 1jjL2; |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
xl |
|
l 1 |
hxl; PkiL2; Pk |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Pl = |
|
|
k=1 |
|
: |
|
|
|
|
||||||||||
|
jjxl |
|
l 1P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
k=1 |
hxl; PkiL2; PkjjL2; |
|
|
|
||||||||||||
Про рим т п рь инст нность. Пусть сущ ст уPт ру ой полином Gk |
ñò ï íè k, ò êîé ÷òî Gk |
? |
Pi ; i = |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ; : : : ; k 1. Ð ëî èì î ïî ñèñò ì Pk: |
Gk = |
P |
ciPi. Домно им это р нст о н Pl и проинт риру м с сом |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
i=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
по отр ку [a; b] (т. . р ссмотрим ск лярно прои ни ), то |
h |
gk; Pl |
i |
= 0 = cl ïðè l < k è, ñë î ò ëüíî |
gk = ckPk. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Âîïpîñ: А мы исполь у м с ойст ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ä ëî òîì, ÷òî ñëè ó î ë ò îðÿ ò ñ îéñò ì 1)-3), òî ôîðì |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
hf; giL2; = |
Za |
f(x)g(x) (x)dx |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
йст ит льно опр ля т ск лярно прои ни .
4.3.3С ойст орто он льных полиномо
Путь н сист м орто он льных с сом полиномо |
Pn(x) . Ñïð ëè |
|
|||||||
Ò îp ì . Вс корни |
Pn(x) ù ñò ííû , ïpîñòû è ïðèí ë ò îòð êó |
(a; b) . |
|||||||
Äîê ò ëüñò î. Пусть Pn(x) èì ò k |
ù ñò ííûõ êîðí é |
xi í îòp ê |
(a; b) н ч тной кp тности. Поло им |
||||||
|
|
|
> |
1; |
|
|
|
k = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
qk(x) = 8 |
k |
|
|
|
; |
|
|
|
|
> |
Q |
(x |
|
xj); |
k > 0 |
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< j=1 |
|
|
|
|
||
êîpíè |
xi 2 (a; b) |
яты уч т кp тности, т. . хо ят пpои ни только о ин p . То прои ни |
|||||||
Pn(x)qk(x) |
í ì íÿ ò í ê í ïpîì óòê |
(a; b) , è, ñë î ò ëüíî, |
|
b
Z Pn(x)qk(x) (x)dx =6 0 :
a
44
О н ко при k < n инт p л ол н p няться 0 силу оpто он льности Pn |
полином м м ньш й ст п ни. Т ким |
|||||||||||
î ð îì k = n. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ò îp ì . Если л р ич ск я ст п нь точности к p туpной фоpмулы c L у л ми |
xk ð í 2L 1 , òî ó ëû |
|||||||||||
xk суть корни орто он льно о полином PL(x) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Äîê ò ëüñò î. Пусть |
NL(x) = |
Q |
(x xi) , |
xi у лы к p туpной фоpмулы и пусть ¼ л р ич ск я |
||||||||
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ст п нь точности р н 2L |
|
1. Р ссмотpим функцию |
f(x) = |
N |
L(x)Pm(x) , |
m |
|
L |
|
1 , я ляющуюся полиномом |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ст п ни н пр осхо ящ й 2L 1. Для т кой функции к p туpн я фоpмул точн по усло ию, и, сл о т льно,
|
|
|
b |
|
L |
|
|
|
|
Za |
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
f(x) (x)dx = |
|
f(xk) k = 0 ; |
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
b |
|
|
|
|
|
òî ñòü |
R |
NL(x)Pk(x)dx = 0 |
è í ÷èò NL ? Pm . Ò êèì î ð îì NL я ля тся орто он льным полиномом и силу |
|||
|
a |
|
|
|
|
|
инст нности с точностью о мно ит ля со п т с |
PL . |
|
||||
Пусть т п рь коpни xi |
орто он льно о полином |
PL(x) я ляются у л ми к p туpной фоpмулы. Пок м, |
что л р ич ск я ст п нь точности к p туpной фоpмулы мо т р няться 2L 1 . Про ппpоксимиpу м функцию
f(x) полиномом |
g(x) ñò ï íè L 1 |
ïî í ÷ íèÿì òî÷ê õ |
xi : |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
L |
(x |
xj) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
g(x) = |
f(xi)Li(x) ; |
Li(x) = |
(xi |
xj) : |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j=i |
|
|
|
|
||||
|
b |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть I = |
R |
f(x) (x)dx ; J = |
R |
g(x) (x)dx : Òî I = J , ñëè |
f |
|
полином ст п ни о L 1 |
ключит льно, |
||||||||||||||
|
a |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
поскольку этом случ |
f = g . Íî ñëè |
|
f | полином ст п ни о |
2L |
|
1 , то р ность полиномо |
f è g ò ê |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
полином ст п ни н пр осхо ящ й |
|
2L 1 , ïpè÷ ì (f g) jx=xj = 0 , è, ñë î ò ëüíî, ñïð ëè î ïð ñò ë íè |
||||||||||||||||||||
f g = PLqL 1, qL 1 |
н котоpый полином ст п ни о |
L 1 . Òî |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Za |
b |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Za |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I J = |
|
(x)[f(x) g(x)]dx = |
(x)PL(x)qL 1(x)dx = 0 ; |
|
|||||||||||||||
то сть л р ич ск я ст п нь точности к p туpной фоpмулы р н |
|
2L 1 , сли ¼ у лы корни орто он льно о |
||||||||||||||||||||
полином . В с при этом р ны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
b |
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k = |
Za |
L |
k(x) (x)dx = |
|
Y |
(x |
xi) |
(x)dx : |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi) |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Za i6=k |
(xk |
|
|
|
Отм тим, что коpни сос них орто он льных полиномо PL è PL 1 p личны (н с мом л м у умя посл -
о т льными коpнями |
xi и xi+1 полином PL л ит pо но о ин коp нь x~i полином PL 1 ). Д йст ит льно, |
||||||||
пусть fk(x) = |
PL(x)PL 1 |
(x) |
, то degfk = 2L 1 и формул Г усс -Кристоф ля с у л ми xi , я ляющимися корнями |
||||||
(x xk) |
|
||||||||
полином |
PL , ля т кой функции точн . Он , к к л ко у и ть приним т и |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
0 |
|
(xk) = |
Za |
PL(x)PL 1(x) |
(x)dx : |
|
|
|
|
kPL(xk)PL 1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
(x xk) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пусть ai |
ст рши коэффици нты орто он льных полиномо Pi , то |
PL(x) = aL Y(x xi) ; PL 1(x) = aL 1 Y(x x~i) ;
è ñïð ëè î ïð ñò ë íè
PL(x) |
= |
aL |
PL 1(x) + qL 2(x) ; |
|
|
||
x xk |
aL 1 |
45
qL 2(x) н который полином ст п ни н ыш L 2 . Т ким о р ом с уч том орто он льности
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
aL |
|
|
|
2 |
|
|
|
aLjjPL 1jjL2; |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
k = P 0 (xk)PL |
|
1(xk) |
|
aL |
|
1 PL 1(x) (x)dx = aL |
|
1P0 |
|
(xk)PL |
|
1(xk) ; |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
Za |
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|||||||
íî ò ê ê ê k |
= |
|
|
( ля со у получ но я но ыр ни (7), и кром то о, н я у лы, с мо но о но н чно |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
6 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
îïp ëèòü ÷ ð îïð ëèò ëü Â í ðìîí ), òî |
PL |
|
1(xk) = 0 , и н чит ни о ин и корн й полином PL |
í ìî ò |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
я ляться корн м полином PL 1 . Попутно мы н шли и pу о ыp ни ля со k . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Ñ îéñò ñî |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1) k > 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
NL(x) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2L 2 , p íûé |
|
|
|
|
|
||||||||||
Äîê ò ëüñò î. Пусть fk(x) = |
x xk |
: то полином ст п ни |
|
0 î ñ õ ó ë õ, êpîì |
x = xk , |
|||||||||||||||||||||||||||||
ля н о фоpмул Г усс -Кpистоф hëÿ òî÷íi , поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
2 (x)dx = k |
|
|
|
|
2 = k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
NL(x) |
|
|
|
|
NL(x) |
N |
L0 |
(xk) 2 |
> 0 ; |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Za x xk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x xk x=xk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ñë î ò ëüíî k > 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
RL |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2) ñ ÿ ü ñî |
k ñ ìîì íò ìè |
cl = |
|
xl (x)dx : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xkl k |
= cl ; l = 0 ; 1 ; : : : ; 2L 1 : |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
С ойст о ст но ится оч и ным, сли сосчит ть инт p л с сом от ст п ни xl |
по фоpмул Г усс -Кpистоф ля. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
L |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
P |
k = |
R |
(x)dx : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
k=1 |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то ч стный случ й с ойст 2) пpи |
l = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.3.4Пpим pы оpто он льных полиномо
1) Полиномы Л н p Pn(x) я ляются орто он льными н пром утк (-1,1) с сом (x) = 1. С точностью о нормиро ки ля них спр ли о ыр ни
|
|
|
|
Pn(x) = |
( 1)n |
|
dn |
(1 |
|
|
x2)n : |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2nn! dxn |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
В ч стности P0 = 1 ; P1 = x ; P2 = |
1 |
(3x2 |
|
1) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) Полиномы Ч ыш п р о о ро |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Tn = n |
[n=2] ( 1)m(n m 1)! (2x)n 2m |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
X |
m!(n |
|
2m)! |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
m=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
îðòî îí ëüíû í òîì ïðîì óòê [ 1; 1] ; |
ñ ñîì |
|
= p |
|
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1 x2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
3) Полиномы pмит Hn îðòî îí ëüíû í ïðîì óòê (1; 1) ; ñ ñîì (x) = e x2 . С точностью о нормиро ки |
||||||||||||||||||||||||||
îíè èì þò è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
x2 |
dn |
|
e |
x2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
Hn(x) = ( 1) |
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
: |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dxn |
|
|
|
|||||||||||||||
4) Полиномы Л pр Ln îðòî îí ëüíû í ïðîì óòê |
|
|
[0; 1) ; |
ñ ñîì (x) = e x. Èõ ìî íî ïð ñò èòü |
||||||||||||||||||||||
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x dn |
|
n |
|
|
x |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Ln(x) = |
|
n! |
e |
|
|
|
|
|
n |
(x |
|
|
e |
|
) : |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
46
4.3.5По p шность к p туpных фоpмул
Пусть функция f(x) проинт рполиро н по ¼ н ч ниям f(xi) L òî÷ê õ xi ; i = 1; 2; : : : ; L ; полиномом gL 1 :
f(x) = gL 1(x) + r(x) ;
По р шность инт риро ния R при м н f(x) соот тст ующ й к р турной формулы) им т и
gL 1(x) = |
L |
f(xj ) |
L |
(x xj) |
: |
|
X |
||||||
|
|
Y |
|
|||
|
i=1 |
|
j=i (xi xj) |
|
||
|
|
|
6 |
|
|
|
инт рполяционным полиномом |
gL 1 (он по р шность |
|
b |
b |
|
|
|
b |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
Za |
Za |
|
|
Za |
|
|
|
Za |
f(L)( (x)) |
N |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
L! |
|
||||||
R = |
f dx |
gL 1 dx = |
|
r(x) dx = |
|
|
|
|
(x) (x)dx ; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N(x) = |
(x xi) |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
и сли f полином ст п ни н ыш |
L 1 , òî f(L) |
0 |
и, сл о т льно, к р турн я формул точн . Для случ я |
|||||||||||
p ноотстоящих у ло xi xi 1 = h |
èì ì: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jNL(x)j |
|
|
hL max |
|
1 |
|
|
hL |
|
|
||
|
|
|
CLk |
|
|
|
|
|||||||
è, í ÷èò |
|
L! |
|
|
k |
|
|
|
b
jRj hLjjf(L)jjC Z (x)dx ;
a
è ïpè = 1
jRj hLjjf(L)jj(b a) :
то о ольно pу я оц нк , о н ко он пок ы т поря ок точности по h .
В случ , сли у лы н прои ольны , коpни оpто он льно о полином PL , то к p туpн я фоpмул точн ля полиномо ст п ни н пр осхо ящ й 2L 1, хотя получ нн я оц нк это о и н "чу ст у т". Что ы улучшить оц нкуэтом случ поступим сл ующим о р ом. Пусть f 2 C2L. Р ло им pя Т йлоp окр стности н которой
точки x : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x) = |
2L 1 f(k)(x )(x x )k + f(2L)(x )(x x )2L + q(x) ; |
|||||||||||||||
|
|
k=0 |
|
|
k! |
|
|
|
|
|
(2L)! |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
f2(x) |
|
|
|||
|
|
|
|
f1(x) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
} | |
|
|
|
{z |
} |
||||||||
òî |
|
| |
|
{z |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
b |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
b |
||
R = |
[f gL 1(x)] (x)dx = |
|
[f1 gL 1(x)] (x)dx + |
f2(x) (x)dx : |
|||||||||||||
|
Za |
|
|
|
|
|
Za |
|
|
|
|
|
|
Za |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
Пусть с = 1, оц ним посл ний инт p л от роси от функции f2(x) îñò òîê |
q(x) и ы р к ч ст точки |
||||||
| |
{z |
} |
|
|
|||
р ло ния x точку |
a+b |
, òî |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
f(2L)(x )(x x )2L dx |
jjf(2L)jjC |
(b |
|
a)2L+1 |
; |
|
|
(2L)! |
22L(2L + 1)! |
|
|
|
|
|
|
Za |
|
|
|
|
|
то сть по р шность R т с я к к
47
R |
jjf(2L)jjC |
(b |
|
a)2L+1 |
: |
|
22L(2L + 1)! |
|
|
|
4.4Ïpèì pû ê p òópíûõ ôîpìóë
В этом пункт мы у м счит ть, что с = 1 ; и, что L число у ло н [a; b] .
4.4.1 Число у ло L = 1
|
b |
|
a) Фоpмул л ых пpямоу ольнико : x1 = a; |
f(x)dx (b a)f(a) : |
|
|
a |
|
) Фоpмул пр ых пpямоу ольнико : x1 = b; |
R b |
f(x)dx (b a)f(b) : |
a |
||
) Фоpмул сp них (прямоу ольнико ) |
R |
|
формул н и ысш й л p ич ской ст п ни точности (он ол н ыть точной ля полиномо н пр осхо ящих ст п ни 2L 1 = 1). Постpоим соот тст ии с и ло нными ыш соо р ниями ля формул Г усс -Кристоф ля. Для это о сн ч л с помощью м сшт но о пр о р о ния и с и п р м отр ок [a; b] отр ок [ 1; 1] , н котором орто он льными я ляются полиномы Л н р Pk . Òî
|
b |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x)dx = b a |
|
f( b + a |
+ b a y) dy ; x = b + a |
+ b ay : |
|
|
|
|
||||||||||
|
Za |
2 |
|
Z1 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
{z |
} |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
q(y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
b |
|
Поскольку P1(y) = y , то инст нный коp нь это о полином точк y = 0. В с |
(ïî ñ îéñò ó ñî |
i = |
R |
(x)dx) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p í = R1 |
dx = 2, ò êèì î ð îì |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x)dx = |
b a |
Z1 |
q(y)dy |
|
|
b a2q(0) = (b |
|
a)f( b + a) : |
|
|
|
|
||||||
|
Za |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.4.2Число у ло L = 2
) Ôîpìóë òp ï öèé.
З сь у л ми я ляются точки x1 = a ; x2 = b. f(x) м ня тся инт рполяционным полиномом п р ой ст п ни p1(x), постро нным по этим у л м:
f(x) ! g1 |
(x) = ax bb f(a) + xb |
aaf(b) ; |
|
|
|
bb
Za |
f(x)dx f(a) |
Za |
|
|
|
|
b |
x b dx + f(b) |
Za |
x a dx = |
a b |
b a |
bb
= |
f(a) |
|
y dy + |
f(b) |
|
y dy = |
|
f(a) |
(a b)2 |
+ |
f(b) |
(b a)2 |
= |
a b Za |
b a Za |
|
|
||||||||||
|
|
|
(a b) 2 |
|
(b a) 2 |
|
= (b a) f(a) + f(b) : 2
т формул p ум тся точн ля полиномо ст п ни н пр осхо ящ й L 1 = 1 (и н ольш ).) Фоpмул Г усс -Кpистоф ля ля L = 2
Для получ ния поступим т к к к случ формулы ср них:
48
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Za |
f(x)dx = |
b a |
q(y)dy ; q(y) = f( b + a |
+ b ay) : |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
Z1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Полином P2 èì ò è : P2 = |
2 |
|
(3y |
|
1) . Å î êîpíè y1 |
= |
p |
|
|
; y2 = p |
|
. В с и симм тpичности ол ны ыть |
||||||||||||||||||
|
|
3 |
3 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|||
î èí êî û: 1 = 2 ; 1 + 2 |
= 2 ) i = 1, ñë î ò ëüíî, |
g(y)dy q( p |
|
) + q( p |
|
). Т ким о р ом иском я |
||||||||||||||||||||||||
3 |
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||
к р турн я формул им т и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x)dx |
|
b a |
f( b + a |
|
b |
a 1 |
|
) + f( b + a |
+ b a 1 |
|
) |
: |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Za |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
p3 |
2 |
|
|
2 p3 |
|
|
|
|||||||||
Ал р ич ск я ст п нь точности M р н |
2L 1 = 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.4.3Число у ло L = 3
Фоpмул Симпсон
З сь у л ми я ляются точки |
|
x1 = a ; x2 = |
a+b |
; |
x3 |
= b. Для у о ст ычисл ний п р й м к отр ку [ |
|
1; 1] |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ì ñøò íûì ïð î ð î íè ì q(y) = f( |
b+a |
+ |
b a |
y) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Za |
f(x)dx = b a |
|
Z1 |
q(y)dy ; y1 = |
|
1 ; y2 = 0 ; y3 = 1 : |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ç ì íèì q(y) |
инт рполяционным полиномом |
p2(y) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q(y) |
! p2(y) = q( 1)L1(y) + q(0)L2(y) + q(1)L3(y) ; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
1(y) = |
|
(y |
|
0)(y |
1) |
= y(y |
1) |
; |
L |
2(y) = |
(y |
|
( 1))(y |
|
1) |
= |
(y + 1)(y 1) |
; |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
( 1 |
|
0)( 1 1) |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
(0 |
|
( 1))(0 |
|
1) |
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(y |
|
|
( |
1))(y |
0) |
|
|
(y + 1)y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L3(y) = |
(1 |
( 1))(1 |
0) |
= |
|
|
2 |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Òî èíò ð ë R1 p2(y)dy ð í |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
q( |
|
1) |
|
y(y 1) dy + q(0) |
Z1 |
(y + 1)(y |
1) dy + q(1) |
|
y(y + 1) dy : |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Z1 |
|
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Сосчит м с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
y |
|
1 |
|
|
Z1 (1 y |
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 = 1 = Z1 ( 2 |
2 )dy = |
3 |
; 2 |
= |
|
)dy = |
3 |
; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
|
|
|
q( 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ò êèì î ð îì |
R1 |
q(y)dy |
|
+ |
4 |
q(0) + q(1) |
: Во р щ ясь к исхо ной функции f, получ м формулу Симпсон |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x)dx |
|
b a[f(a) + 4f( a + b ) + f(b)] : |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Za |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З м тим, что эт фоpмул точн и ля полиномо тр ть й ст п ни, хотя постpо ни p нтиpо ло точность лишьо н ч ния L 1 = 2.
49
Для ол точно о ычисл ния инт р ло мо но строить инт рполяционны полиномы с ол ысокой ст п ни, о н ко ол р умным по хо ом я ля тся р и ни пром утк инт риро ния н ч сти и прим н ни н них к ко о ли о и и ло нных ыш простых спосо о инт риро ния.
4.5Ñîñò íû ê p òópíû ôîpìóëû
Ð î ü ì ïðîì óòîê èíò ðèðî íèÿ [a; b] |
í |
N ÷ ñò é |
x0 = a ; x1 ; : : : ; xN = b è í ê îì ïpîì óòê i = |
|||||||||||||
[xi; xi 1] |
пpим ним ту или иную к p туpную фоpмулу и просуммиру м по с м пром утк м. Пусть hi = xi xi 1 . |
|||||||||||||||
Получ м сл ующи сост ны к р турны формулы |
|
|||||||||||||||
|
N |
|
|
xi+xi 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M = hif( |
); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T = |
P |
|
f(xi)+f(xi 1) |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
hi |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S = |
P hi |
[fi 1 + 4f( |
xi 1+xi |
) + f(xi)]. |
|
|
|
|
||||||||
i=1 |
6 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Лю опытно отм тить, что S = |
2 |
M + |
1 |
T . |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
P |
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
||
У о но сост ную формулу Симпсон пр ст лять и (при ч тном числ пром утко ) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
+ : : : + 4fN 1 + fN ) : |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S(f) = |
3 |
(f0 |
+ 4f1 + 2f2 |
Т к я пись н ы тся о о щ нной формулой Симпсон .
4.5.1Схо имость к p туpных фоpмул
Óñòð ìèì ñîñò íûõ ê p òópíûõ ôîpìóë õ ð í ðî ë íèÿ h = max hi к нулю. Ест ст нным о р ом о ник ютопросы
1)Стp мится ли сумм к инт р лу?
2)Если " ", то с к кой скоpостью?
От т н п р ый опрос поло ит л н. Поскольку и формул ср них M и формул тр п ций T суть инт - р льны суммы, ля инт риру мой функции инт р л по опр л нию сть пр л инт р льных сумм. Поскольку формул Симпсон S я ля тся лин йной ком ин ци й (с суммой коэффици нто р ной 1) формул ср них и тр п - ций, то при р н ро л ния стр мящимся к нулю, он т к стр мится к инт р лу. Н тpу но ок ть схо имость иру их к р турных фоpмул.
Т п рь о р тимся к опросу о скоpости схо имости. Поскольку формулы тр п ций T и ср них M точны ля полиномо ст п ни н пр осхо ящ й 1 , то ст ст нно о и ть, что их по p шность сть O(h2), ля формулы Симпсон , им ющ й л р ич скую ст п нь точности р ную тр м, по р шность O(h4).
Р ссмотрим ситу цию т льно. Пусть xi = xi+xi 1 : Р ло им f(x) ря Т йлор окр стности точки x .
2
f(x) = f(xi) + (x xi)f0(xi) + 12 (x xi)2f00(xi)+
+ |
(x xi)3 |
f000 |
(xi) + |
(x xi)4 |
f(4) |
(xi) + |
(x xi)5 |
f(5) |
(xi) + O(hi6) : |
|
3! |
|
|
24 |
|
|
120 |
|
|
Проинт риру м это р ло ни по пром утку [xi 1; xi]. З м тим, что при этом с чл ны Т йлоро ско о р ло ния с н ч тными ст п нями (x xi) проп ут и - симм трии р споло ния точки xi. Ò êèì î ð îì
xi |
hi3 |
|
hi5 |
|
hi7 |
|
|
|
f(x)dx = hif(xi) + |
f00(xi) + |
f(4)(xi) + |
f(6)(xi) + : : : : |
(8) |
||||
3!22 |
5!24 |
7!26 |
||||||
xiZ1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
50