[ Буслов, Яковлев ] Введение в численный анализ

1)hx; yi = hy; xi;

2)h x + y; zi = hx; zi + hy; zi;

3)hx; xi 0, ïðè÷ ì hx; xi = 0 , x = 0.

Д йст ит льно лин йно простр нст о с фиксиро нным н м ск лярным прои ни м н ы тся йст ит льным кли о ом простр нст ом.

Ск лярно прои ни компл ксном лин йном простр нст L это ин рн я функция h ; i, îïð ë íí ÿ ëÿ ëþ îé ï ðû ýë ì íòî x; y 2 L, со н ч ниями C, у о л т оряющ я сл ующим усло иям:

1)hx; yi = hy; xi;

2)h x + y; zi = hx; zi + hy; zi;

3)hx; xi 0, ïðè÷ ì hx; xi = 0 , x = 0.

Усло ия 2) и 3) со п ют ля компл ксных и йст ит льных кли о ых простр нст со п ют, р личи лишь усло ии 1).

Н кон ц, кли о о простр нст о н ы тся иль рто ым, сли оно с п р льно (т. . н м сущ ст у т сч тный

ис (н помним, мно ст о н ы тся сч тным, сли м у ним и мно ст ом н тур льных чис л мо но уст но ить

имно о но н чно соот тст и )) и полно по м трик , поро нной ск лярным прои ни м. Простр нст о L2 ÿ ëÿ òñÿ èëü ðòî ûì [5].

11

Ãë 2

Аппроксим ции функций

Т рмин ппроксим ция о н ч т при ли ни . Функция f я ля тся ппроксим ци й функции g, сли он том или ином смысл ли к к g (ск м, по той или иной норм ). В ситу ции, ко функция f ищ тся т к, что ы он со п л g кон чном н ор точ к, то , р но к к и с м проц сс поиск , н ы ют инт рполяци й. При этом,сли инт р с пр ст ляют при ли нны н ч ния функции g (т. . н ч ния функции f), н хо ящи ся н отр к с

нным н ором точ к (это к с тся лишь щ ст нных функций, р ум тся), то н ря у с т рмином инт рполяция употр ля тся т к т рмин экстр поляция.

2.1Инт рполяция

2.1.1З ч инт pполяции

Пусть н т лиц чис л fxi; fig, i = 0 ; 1 ; ::: ; N ; x0 < x1 < ::: < xN .

Îïð ë íè . Всяк я функция f(x) т к я, что f(xi) = fi ; i = 0 ; 1 ; ::: ; N í û òñÿ èíò pïîëèpóþù é

(инт pполяци й) ля т лицы fxi ; fi gNi=0 .

З ч инт pполяции состоит отыск нии (постpо нии) инт pполиpующ й функции (т. . пpиним ющ й нных у л х инт pполяции xi ííû í ÷ íèÿ fi ) и пpин л щ й нному кл ссу функций. Р ум тся ч инт pполяции мо т им ть или н им ть р ш ни (и при том н инст нно ), с исит от " нно о кл сс функций". Н о хо имо ыяснить усло ия, при которых ч инт pполяции ыл ы коpp ктно пост л н . О ин и спосо о инт рполяции состоит том, что инт рполирующ я функция ищ тся и лин йной ком ин ции н котоpых конкp тных функций. Т к я инт рполяция н ы тся лин йной. Только лин йны инт рполяции мы и у м р ссм три ть льн йш м.

2.1.2Ч ыш ски сист мы функций

Ìî íî ñ÷èò òü, ÷òî 'i(x) лин йно н исимы функции ( пpоти ном случ , сли ч инт pполяции p p шим , то p ш ни омо н инст нно). О н ко о но о это о о p нич ния ля о но н чной р р шимости

13

Н тpу но и ть, что о тоpом пpим p ля сущ ст о ния и инст нности p ш ния мо но исполь о ть к ч ст H функции и a0 + akxk . То сть, ля инст нности р ш ния чи инт рполяции ст ст нно исполь-о ть сл ующ о p нич ни : число у ло ол но p няться p м pности инт pполиpующ о пpостp нст . О н ко, к к пок ы т п р ый прим р, ля р р шимости чи инт рполяции и это о о р нич ния н ост точно.

Выясним усло ия, при которых ч инт рполяции р р шим о но н чно. З ч лин йной инт pполяции ы-ля ит сл ующим о p ом: пусть f 2 H , H лин йн я о олочк н которых функций 'i(x); i = 0; 1; 2; ; N , н о хо имо у о л т орить сист м р нст

З м тим, что лю я ч ыш ск я сист м функций том тич ски лин йно н исим . В ным прим ром ч ы- ш ских сист м я ляются мно очл ны.

2.1.3Инт pполяция мно очл н ми

Îñî î ì ñòî ìíî î÷ë íî

Вы л нность мно очл но (полиномо ) о усло л н ц лым ря ом о стоят льст .

1)Полиномы pn(x) л ко ычислять;

2)Мно ст о полиномо плотно простр нст н пр ры ных функций C[a;b] , силу т оp мы В й pштp сс , формулиро ку которой мы при м.

Ò îp ì Â é pøòp ññ . Для лю ой функции f 2 C[a;b] и ля лю о о " > 0 сущ ст у т т ко n и т кой полином

pn(x) , deg pn(x) = n ,÷òî jjf pnjjC[a;b] < ":

3) Полиномы я ляются ч ыш ской сист мой ля лю ой сист мы н со п ющих у ло .

В с мом л , пусть f'i(x)gNi=0 = f1 ; x ; x2 ; : : : ; xN g , òî det ñî ï ò ñ îïð ëèò ë ì Â í ðìîí

14

который, оч и но, н р н нулю сли xk =6 xm ïðè k =6 m. У имся спр ли ости пр ст л ния опр лит ля В н рмон по ин укции [6]. Д йст ит льно, пусть ля ин кс р но о N 1 посл няя формул рн . Вычт м опр лит л (x0; x1; : : : ; xN ) и к о о стол ц пр ш ст ующий, умно нный н x0, òî

xk ч стую ок ы тся н у о ным. В ч стности, н прим р, н отр к [a; b] = [0; 1] ст п нны функции ысоких поря ко ут с я сьм схо им о р ом: ст п ни xi è xj "почти лин йно исимы"(они оч нь похо и pу н

CT b = a :

15

Ò êèì î p îì, ñëè det C =6 0, то но я ч (2) т к p p шим инст нным о p ом. Н ыpо нность C эк и л нтн тому, что fpk(x)gNk=0 о p уют ис H (сл ст и лин йной л pы). В ч стности, сли полиномыH т ко ы, что deg pk = k , то они том тич ски лин йно н исимы и о p уют ис H и,

сл о т льно, ч инт pполяции p p шим инст ным о p ом.

Инт pполяционный полином форм Л p н

О ин и о мо ных по хо о к р ш нию чи инт рполяции мно очл н ми, состоит том, что ы м триц им л по о мо ности простой и . Им нно, р ссмотрим чу инт pполяции : пусть н инт рполяционн я т лиц

Инт pполяционный полином фоpм Ньютон

Инт рполяционный полином ст п ни N , прохо ящий ч р нны (N + 1) точку fxi; figNi=0 инст нн н. О н копись о форм Л р н мо т ля н которых ч ок ться н у о ной. то с я но с т м о стоят льст ом, что с Л р н ы полиномы Lk(x) им ют о ну и ту ст п нь N . В ч стности, сли к инт рполяционной с тк fxi; fig о лять но ы точки, то н ль я осполь о ться р н постро нными л р н ыми полином ми, и прихо ится ля ол ысоких ст п н й их строить но о.

Бу м р ш ть чу инт pполяции ы р H но ый ис :

N0(x) = 1 ; Nk(x) = Y(x xi) ; k = 1 ; : : : ; N :

i<k

В том, что это йст ит льно ис H л ко у иться, поскольку deg Nk(x) = k , и т м с мым ньютоно ы мно очл ны Ni лин йно н исимы. Ит к, у м иск ть инт pполяционный полином p(x) и

16

N

p(x) = XakNk(x) :

k=0

Т ко пр ст л ни и я ля тся писью инт рполяционно о полином форм Ньютон . З м тим, что Nk(xj) = 0 пpи j < k . С ми коэффици нты ak í õî èì è ñèñò ìû: p(xj) = fj ; j = 0 ; : : : ; N èëè

8 a0 = f0 ;

a0 + a1(x1 x0) = f1 ;

> : : :

< m

P akNk(xl) = fm ;

k=0

: : :

N

> P akNk(xN ) = fN :

: k=0

òî òð ó îëüí ÿ ñèñò ì . È ï ð î î óð í íèÿ îïð ëÿ òñÿ a0 , ò ì, í ÿ a0 , è òîðî î óð í íèÿ îïð ëÿ ì a1 , è ò ê ë .

Мо но p шить ту чу и ол "эл нтно". В м т к н ы мы p л нны p ности. Р л нны р ности 0- о поря к это просто н ч ния функции fi = f(xi) . Р л нны р ности ол ысоких поря ко опр ляются р кур нтно:

Н тру но и ть, что р л нны р ности им ют р м рность соот тст ующих прои о ных. Р ш ни чи инт рполяции тся сл ующим ыр ни м

N

p(x) = Xf012 ::: kNk(x) :

k=0

Что ы у иться спр ли ости это о пр ст л ния, р ссмотрим р л нны р ности инт рполяционно о полином p(x) , которых к ч ст п р о о и р ум нто ыступ т с м п р м нн я x , ост льными я ляются точки инт рполяции. Ст п нь это о полином р н N . Р ность p(x) p(x0) = p(x) f0 î ð ù òñÿ íîëü òî÷ê x0 è,

сл о т льно, лится н x x0 . Т ким о р ом р л¼нн я р ность px0 = p(x) p(x0) , ð ññì òðè ì ÿ ê ê ôóíê-

x x0

ция x , я ля тся полиномом ст п ни N 1. Ан ло ично, тор я р л нн я р ность px01 = px0 p01 сть полином

x x1

по x ст п ни N 2 , р л нн я р ность N- о поря к px012:::N 1 у н исит от x и я ля тся конст нтой и р ности ол ысоко о поря к то ст нно р ны нулю. Т ким о р ом,

p(x) = p0 + (x x0)px0 = p0 + (x x0)[p01 + (x x1)px01] = p0 + (x x0)p01 + (x x0)(x x1)[p012 + (x x3)px012] = : : : =

17

2.1.4По p шность инт pполяции

Во ник т ст ст нный опрос: н сколько р лич ются м у со ой функция f(x) и полином pN (x), у о л т оряющи о ной и той т лиц ? Если ник ких с ойст л кости н потр о ть от функции f, то и ск ть нич о

îòêó óò ð íè ò îð ìû ñë ó ò í ïîñð ñò ííî.

З м ч ни . При нным р ссу ни м о корнях спомо т льной функции q мо но осполь о ться только, сли x =6 xi, ò ê ê ê ïpè x = xi функция q(x) им т лишь N + 1 коp нь. О н ко при x = xi усло ия т ор мы ыполн нытом тич ски, поскольку f(xi) = pN (xi) è NN+1(xi) = 0.

И усло ия т ор мы сл у т приорн я оц нк

Ïpèì p. Оц нить по p шность функции y = px н пpом утк [100,144] с у л ми 100, 121, 144 с помощью инт p- поляционно о полином тоpой ст п ни ( фоpм Л p н или Ньютон это с p но, поскольку это о ин и тотполином, р ниц мо т о никнуть только, сли ычисл ни коэффици нто пpоисхо ит н точно, с н котоpой

18

по p шностью).

Р ш ни . Для то о, что ы оц нить по р шность о с н т н о хо имости строить с м инт рполяционный полином,

Т ким о p ом, н счит я с м инт рполяционный полином pN (x) мы оц нили по p шность.

2.1.5Îö íê +1(x):

O(hN+1).

З м ч ни . Мо но по о p ть у лы т к, что ы личин max jNN+1(x)j ыл м ньш , ч м у лю о о pу о о полином той ст п ни с иничным ст ршим коэффици нтом (т ки полиномы н им н отклоняющи ся от нуля мно очл ны

Ч ыш ). У лы p споло ны p ко с p ин и с ущ ются у концо пром утк .

2.1.6Схо имость инт pполяции. Пpим pы

Хотя т оp м В й pштp сс и ут р т полноту полиномо , о н ко он нич о н о орит относит льно то о, к к строить т ки полиномы pn . Âî íèê þò îïpîñû:

1.К к ы ир ть инт pполяционную т лицу fxi; fig?

2.Схо ится ли том или ином смысл посл т льность ппpоксим ционных полиномо к инт pполиpу мой функции?

Для у лич ния точности мо но исполь о ть сл ующи м то ы постро ния полином :

1.Ум ньш ни ш с тки, при постоянной ст п ни N инт рполяционно о полином . В этой ситу ции инт рпо-

ляционный полином хорошо описы т по ни функции f 2 CN+1 лишь н н ольшом пром утк ( лины hN ).

2.Ð óìíî p ì ù íè ó ëî . Î û÷íî ýòî î í ÷ ò û îð ê ÷ ñò ó ëî êîðí é ìíî î÷ë íî × ûø .

3.У лич ни числ у ло и, т м с мым, у лич ни ст п ни инт рполяционно о полином .

И стно, что сли y(x) ц л я функция (т. . p л тся ст п нной pя с скон чным p иусом схо имости н компл ксной плоскости), то пpи пpои ольном p споло нии у ло н лю ом пром утк [a; b], pN (x) ! y(x)

19

p ном pно (т. . по ноpм простр нст н пр ры ных функций ) пpи N ! 1 . О н ко сли функция скон чно иф-

ф р нциру м лишь щ ст нном смысл : f 2 C1 , то это у н p нтиpу т схо имости посл о т льности

(1;1)

инт рполяционных полиномо к функции f при у лич нии числ у ло . Ïpèì p.

Построим посл о т льность инт рполяционных полиномо по точк м отриц т льной полуоси. Вс они то ст нно р ны нулю pn(x) 0 и схо имости к функции f н т. Пp у лы мы ы р ли сьм н эфф кти но.

При р ном рном р споло нии у ло т к н с у тся о иться схо имости. Причин сь ключ тсятом, что оц нку инт рполяции хо ит прои о н я от инт рполиру мой функции. В случ сли f н о л тост точной л костью, то и оц нк т ря т смысл.

Ïpèì p Á píøò éí .

y(x) = jxj ; x 2 [ 1; 1] :

Á ðíøò éí ïîê ë, ÷òî ëÿ p íîì píîé ñ òêè í ÷ íèÿ pN (x) м у у л ми инт pполяции н о p нич нно о p ст ют пpи N ! 1 окр стности точ к -1, 1. З м тим, что функция jxj н ифф р нциру м нул , но окр стности нуля инт рполяционны полиномы ысокой ст п ни ост точно хорошо п р ют по ни функции мо уль.

В и стном смысл о щ о м то постро ния посл о т льности инт рполяционных полиномо н т. И осно ни-м, что ы ут р ть столь "пр н приятн йш и сти ", я ля тся

Ò îp ì Ô p (NO GO Theorem). Пусть xji | прои ольный инт pполяционный м сси н [a; b]:

То сущ ст у т т к я функция g 2 C[a;b] è ò ê ÿ òî÷ê x 2 [a; b] , что посл о т льность инт рполяционных полиномо , постро нн я по строк м это о м сси и со п ющ я них с g н стр мится точк x к g(x ) .

Т ким о р ом, p ном pной схо имости оо щ о оря о иться н у тся. К к "пp о ол ть"т оp му Ф p ? Н о хо имо отк ться от поточ чной схо имости и м нить н схо имость сp н м. Им нно, рно сл ующ

20