Возрастание и убывание функции

Возрастание и убывание дифференцируемой функции связано со знаком её производной. Напомним, что функция   называется возрастающей на интервале  , если для любых двух точек   из неравенства   следует, что  ; убывающей на интервале  , если из неравенства   следует, что  ; невозрастающей на интервале  , если из неравенства   следует, что  , и неубывающей на интервале  , если из неравенства   следует, что  . 

Рис.7.15.Графики возрастающей, убывающей, невозрастающей и неубывающей функций

Очевидно, что функция   возрастает тогда и только тогда, когда убывает функция  ; аналогичное утверждение связывает неубывающую функцию с невозрастающей. 

Рис.7.16.Графики функций   и 

        Теорема 7.2   Пусть функция   дифференцируема на интервале   и   при всех  . Тогда   возрастает на  . Если же   при всех  , то   не убывает на  .

Аналогично, если   при всех  , то   убывает на  , а если   при всех  , то   не возрастает на  .

        Доказательство.     В силу предыдущего замечания, теорему достаточно доказывать только для случаев   и  . Пусть   при всех   и  ,  . Применим к отрезку   формулу конечных приращений:

где  . В правой части   и  , так что  , откуда  , что означает возрастание функции.

Точно так же, если  , то получаем  , откуда  , что означает неубывание функции. 

Максимум и минимум функции.

Приведем точные определения точек экстремума.  Определение. Точка x₀ называется точкой минимума функции f, если для всех x из некоторой окрестности x₀ выполняется неравенство f(x) ≥ f(x₀.  Это наглядно показано на рисунке 1:    рисунок 1  Определение. Точка x₀ называется точкой максимума функции f, если для всех x из некоторой окрестности x₀ выполняется неравенство f(x) ≤ f(x₀.  Это наглядно показано на рисунке 2:    рисунок 2  По определению значение функции f в точке x₀ является наибольшим среди значений функции в окрестности этой точки, поэтому график функции в окрестности x₀ имеет обычно либо вид гладкого холма, либо вид острого пика (рис. 1 а) и б) соответственно).  В окрестности точки минимума графики изображаются в виде загругленной или острой впадины (рис. 2 а) и б) соответственно).  Другие примеры поведения графиков функций в точках максимума и минимума приведены на рисунке ниже:    Слева направо: a - точка максимума; a - точка минимума; каждая точка из промежутка [-1; 0] является как точкой максимума, так и точкой минимума.  Для точек минимума и максимума функции есть общее определение - точки экстремума. Значение функции в этих точках соответственно назывется максимумом или минимумом этой функции. Общее название - экстремум функции. Точки максимума обычно обозначают x_max, а точки минимума - x_min.

Список литературы.

Лит.: И л ь и н В. А., П о з н я к Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1,М., 1971; КудрявцевЛ. <Д., Курс математического анализа, т. 1,2, М., 1981; [3] Никольский С. М., Курс математического анализа, 2 изд., т. 1, М., 1975; [4] Б а х в а л о в Н. С., Численные методы, 2 изд., т. 1, М., 1975. Л. Д. Кудрявцев.