Декартові координати та вектори в просторі

Візьмемо три взаємно перпендикулярні прямі Oх, Oy, Oz, які перетинаються в одній точці О (див. рисунок). Проведемо через кожну пару цих прямих площину. Площина, яка проходить через прямі Oх і Oу, називається площиною Oxy. Дві інші площини називаються відповідно Oxz і Oyz. Прямі Ox, Oy, Oz називаються координатними осями (Ox — вісь абсцис, Oy — вісь ординат, Oz — вісь аплікат). Точка їх перетину О — початок координат, площини Oxy, Oxz, Oyz — координатні площини. Точка О розбиває кожну з осей координат на дві півпрямі — півосі. Домовимось одну півось називати додатною, а другу — від’ємною. Візьмемо тепер довільну точку А й проведемo через неї площину, паралельну площині Oyz. Вона перетинає вісь Ox у деякій точці . Координатою х точки А називається число, яке дорівнює за абсолютною величиною довжині від­різка . Це число додатне, якщо точка лежить на додатній півосі Оx, і від’ємне, якщо точка лежить на від’ємній півосі. Якщо точка збігається з точкою О, то вважаємо, що . Аналогічно означаємо координати y і z точки A. Координати точки записуватимемо в дужках поряд із буквеним позначенням точки: . Якщо точка A не належить жодній із координатних площин, то ці площини разом із трьома паралельними їм площинами, які проходять через точку А, обмежують прямокутний паралелепіпед. Зверніть увагу на таке. 1) осі Oх; осі Oу; осі Oz (див. рисунок). 2)

Точка лежить на осі	Ox	Oy	Oz
Її коор­ди­нати	(x; 0; 0)	(0; y; 0)	(0; 0; z)
Точка ле­жить на площині	Oxy	Oyz	Oxz
Її коор­ди­нати	(x; y; 0)	(0; y; z)	(x; 0; z)

Для розв’язування задач координат­ним методом користуються формулою , що визначає відстань між точками і . Нехай — середина відрізка AB, де , Тоді ; ; .

Перетворення в просторі

Поняття перетворення для фігур у просторі означають так само, як і на площині (див. розділ «Геометрія. 8 клас»). Рухом називається перетворення, при якому зберігаються відстані між точками. Властивості руху в просторі: Прямі переходять у прямі, півпрямі — у півпрямі, відрізки — у відрізки, кути між півпрямими зберігаються, площина переходить у площину. Зразки рухів у просторі: Симетрія відносно точки; симетрія відносно прямої; симетрія відносно площини (аналогічна симетрії відносно прямої). Приклад Дана точка . Знайти точки, симетричні даній відносно координатних площин. Відповідь: точка, симетрична точці А відносно Oху, — це , відносно Oyz — це , відносно Oxz — це . Паралельним перенесенням у просторі називається таке перетворення, при якому довільна точка переходить у точку , де числа a, b, c — одні й ті самі для всіх точок . Паралельне перенесення є рухом. У результаті паралельного перенесення точки зміщуються вздовж паралельних прямих (або прямих, що збігаються) на одну й ту саму відстань. 1. У результаті паралельного перенесення кожна пряма переходить у паралельну їй пряму (або в себе). 2. Які б не були точки А і , існує єдине паралельне перенесення, у результаті якого точка А переходить у точку . 3. У результаті паралельного перенесення в просторі кожна площина переходить або в себе, або в паралельну їй площину.