7. Следующее определение описывает локальное ре­шение задачи нелинейного программирования, "обычное" в том смысле, что в его окрестности ограничения и цф задачи ведут себя "стандартно".

Определение. Предположим, что функции f, g(1), …, g_т два­жды дифференцируемы в окрестности локального решения х* за­дачи (2.1.1) - (2.1.3). Решение х* невырожденно, если: градиенты активных в этой точке ограничений линейно не­зависимы; соответствующий вектор множителей Лагранжа (1, у*) удо­влетворяет условиям строгой дополняющей нежесткости;

для любого h принадлежит R"\{0} такого, что V g(i) (x*) • h = О при всех i принадлежит I(х*), выполняется неравенство

………..

(квадратичная форма Н(h) отрицательна для любого ненулевого вектора h, ортогонального градиентам активных в точке х* огра­ничений).

Замечание 14. Условия невырожденности с очевидностью вы­полняются для внутреннего локального решения х*, в котором ни одно ограничение не активно (это возможно, конечно, только в задаче без ограничений-равенств).

Пусть е = (e(i))в степени m1 принадлежащему R в степени m — вектор приращений относительно некоторого "исходного" вектора b° принадлежащему R^m. Рассмотрим следую­щую задачу А(е):

/(х) -> max (2.5.1)

при

g(i)(х) = b(i) в степени 0 + e(i), (i) принадлежит {1,...,m(1)},

gi(x) <либо= b(i) в степени 0 + e(i) (i) принадлежит {m1 + 1,..., m}.

Ясно, что A(0) совпадает с задачей (2.1.1)-(2.1.3) при b = b°.

Теорема 9 (об устойчивости локальных решений). Пусть х* и (1, у*) — невырожденное локальное решение задачи А(0) и соот­ветствующий вектор множителей Латранжа. Тогда при \\е\\ <e₀ (где e₀— некоторое положительное число) существуют диффе­ренцируемые в нуле вектор-функции х(е) и у(е) такие, что х(е) — локальное решение задачи А(е), (1,у(е)) — соответствующий вектор множителей Латранжа, lim (е стремится в 0) x(e) = х*, , lim (е стремится в 0) У(е) = у*. Для функции Ф(e) = f(х(е)) справедливо соотношение…………

8. Рассмотрим задачу (2.1.1) - (2.1.3) с произвольным вектором b и положим е = b — b°. Функция ф(b) = ф(b — b°) = ф(e) описы­вает зависимость максимума ЦФ от вектора правых частей огра­ничений. При этом………………

Ho e_k = b_k — b_k(0), поэтому производная e(k) no b(k)равна единице при i =k и нулю при i не равное k. Следовательно,

множитель Лагранжа для задачи А(0) есть производная макси­мума ЦФ по правой части соответствующего ограничения.

Из теоремы 9 следует, что небольшие колебания правых ча­стей ограничений (из-за ошибок измерения или внешних воздей­ствий) не ведут к значительному изменению результата операции (см. § 1.2.3). Если известны множители Лагранжа у*(i), то можно аппроксимировать прирост (дифференциал) максимального зна­чения ЦФ при малой вариации е правых частей ограничений:

При этом у*(i), указывает скорость изменения максимального зна­чения ЦФ при небольших автономных приращениях b(i) предель­ную полезность этих приращений.

Если х* — внутреннее оптимальное решение задачи без огра­ничений-равенств, в которой функции f,g1,...,g_mудовлетворя­ют условиям гладкости из определения невырожденного реше­ния, то теорема 9 заведомо применима (см. замечание 14). Тогда у* = 0 по условию (2.4.2), а (2.5.2) означает, что небольшие изме­нения правых частей ограничений не влияют на оптимум.