1. Гамильтоновы графы. Достаточные условия гамильтоновости графа. Теорема Дирака.

Граф называется гамильтоновым, если в нем имеется простой цикл, содержащий каждую вершину этого графа. Сам этот цикл также называется гамильтоновым. Гамильтоновой называют и простую цепь, содержащую каждую вершину графа.

Любой граф, содержащий две вершины степени 3, соединенные тремя простыми попарно непересекающимися цепями длины не менее двух, называется тэта-графом

Теорема 14.3. Каждый негамильтонов двусвязный граф содержит тэта-подграф.

Теорема 14.4. (O. Оре, 1960 г.). Если для любой пары и несмежных вершин графа G порядка n  3 выполняется неравенство deg u + deg v  n , то G — гамильтонов граф.

Из этой теоремы непосредственно вытекает следующая

Теорема 14.5. (Г. Дирак, 1952 г.). Если в графе G порядка n  3 для любой вершины v выполняется неравенство deg v  n /2, то G — гамильтонов граф.

2. Биномиальная формула.

Теорема 11.1. (бином Ньютона) Для натурального n справедлива формула

 Перемножим последовательно (a + b) n раз. Тогда получим сумму 2ⁿ слагаемых вида d₁d₂…d_n, где d_i (i = 1, 2,…, n) равно либо a, либо b. Разобьем все слагаемые на (n + 1) группу B₀, B₁,…, B_n, отнеся к B_k все те произведения, в которых b встречается множителем k раз, а a встречается (n – k) раз. Число произведений в B_k равно, очевидно, (таким числом способов среди n множителей d₁d₂…d_n можно выбрать k множителей, которые будут равны b), а каждое слагаемое из равно . Поэтому 

Числа называются биномиальными коэффициентами.

БИЛЕТ 13

1. Раскраска графов. Хроматическое число. Бихроматические графы. Алгоритм последовательной раскраски.

Пусть G — граф, k — натуральное число. Произвольная функция вида f : VG  {1,2,…, k} называется вершинной k-раскраской, или просто k-раскраской, графа G.

Раскраска называется правильной, если f(u)  f(v) для любых смежных вершин u и v. Граф, для которого существует правильная k-раскраска, называется k-раскрашиваемым (или раскрашиваемым k цветами).

Минимальное число k, при котором граф G является k-раскрашиваемым, называется хроматическим числом этого графа и обозначается (G). Если (G) = k, то граф G называется k-хроматическим.

Правильная k-раскраска графа G при k = (G) называется минимальной.

Очевидно, что граф является 1-хроматическим тогда и только тогда, когда он пустой, а 2-хроматическим — когда он двудольный и непустой. Обычно 2-хроматический граф называют бихроматическим. Поэтому теорему Кёнига о двудольных графах можно сформулировать в следующем виде:

Теорема 15.1. Непустой граф является бихроматическим тогда и только тогда, когда он не содержит циклов нечетной длины.

Алгоритм последовательной раскраски.

1. Произвольной вершине v₁ графа G припишем цвет 1.

2. Если вершины раскрашены l цветами 1,2,…, l, l  i, то новой произвольно взятой вершине v_i+1 припишем минимальный цвет, не использованный при раскраске вершин из ее окружения.

Раскраска, к которой приводит описанный алгоритм, называется последовательной. Очевидно, что это — правильная раскраска.

2. Число всех отображений, число сюръективных отображений конечных множеств (элементы в неразличимы). Число сюръективных отображений .

Утверждение 7.6А.Число сюръективных отображений f : X  Y* (элементы Y неразличимы) равно S(m, n).

Б. Число сюръективных отображений f : X  Y равно n!S(m, n).

В. Число всех отображений f : X  Y* равно .

 Каждое сюръективное отображение f множества X на множество Y порождает разбиение

X = f ^–1(y₁)  f ^–1(y₂)  f ^–1(y₃)  . . . f ^–1(y_n), f ^–1(y_i)   для всех i.

Если два отображения f₁ и f₂ порождают одно и то же разбиение, значит существует такая перестановка (i₁, i₂,…, i_n) чисел 1,2,…,n, что f ^–1( y_ik ) = f ^–1( y_k ), k = 1, 2,…, n. Это как раз и означает, что если элементы Y неразличимы, то f₁ и f₂ совпадают. Тем самым, пункт «А» доказан.

Любое сюръективное отображение f : X  Y можно построить в два этапа: сначала разбить X на n непустых частей X₁, X₂, …, X_n (имея в виду, что все элементы из одной части будут отображаться в один и тот же элемент множества Y ), а затем для каждого такого разбиения (X₁, X₂, …, X_n ) выбрать в качестве f (X₁), f( X₂), …, f (X_n) различные элементы Y. Согласно пункту «А» имеется S(m, n) разных исходов первого этапа. Для любого исхода первого этапа имеется n! разных исходов второго этапа. Итого имеется n!S(m, n) возможностей.

Если f не является сюръективным, то прообразы некоторых s элементов из Y не существуют, т. е. f ^–1( y_ik ) = , k = 1, 2,…, s. Это порождает разбиение множества X на n – s непустых подмножеств, где s = 1, 2,…, n – 1. Суммируя по s и добавляя количество сюръективных отображений, получим требуемое. 