Разложение определителя по произвольной строке.
Теорема 2. Справедлива формула
(***)
для любого
.
Доказательство. Вычислим определитель следующим образом: сначала поставим -ю строку на 1-е место, сохранив при этом порядок остальных строк, а затем воспользуемся утверждением теоремы 1.
Для того, чтобы
-ю
строку поставить на 1-е место, сохранив
при этом порядок остальных строк, нужно
будет
раз поменять местами соседние строки:
сначала
-ю
и (
)-ю,
затем (
)-ю
и (
)-ю
и т.д. Получится матрица
Заметим, что
(через
обозначим минор получившейся матрицы
).
Теперь вычислим определитель.
Теорема доказана.
2.9. Разложение определителя по столбцу. Разложить определитель можно не только по произвольной строке, но и по произвольному столбцу:
.
Доказательство становится очевидным, если вспомнить, что определитель матрицы не меняется при транспонировании.
Вычисление определителей.
Формула (***), на первый взгляд, не выглядит более простой, чем (*). Но на самом деле это не так. Пусть нам нужно вычислить определитель матрицы
и
пусть, к примеру,
.
С помощью элементарных преобразований
типа II можно привести
матрицу к виду
,
Причем . (Вспомните, как приводится матрица к треугольному виду.) Разложим определитель по первому столбцу – от суммы в формуле (***) останется одно слагаемое, - и вычисление определителя порядка сведется к вычислению определителя порядка . Повторив эту процедуру необходимое количество раз, придем к нужному результату.
Некоторые замечания.
1.
.
2.
.
Доказательства этих утверждений очевидны.
Менее тривиальным является утверждение, которое примем без доказательства:
.
4.
Если в формуле (***) вместо алгебраических
дополнений
взять алгебраические дополнения
элементов другой строки, то выражение
станет равным нулю:
если
.
Это утверждение станет очевидным, если заметить, что левая часть является разложением определителя
который равен нулю, так как две его строки совпадают.