6. Позиционные системы счисления – десятичная, двоичная, восьмеричная, шестнадцатиричная. Правила записи чисел и расчета их значений. Причины применения в эвм двоичной системы счисления.

Системой счисления называется совокупность приемов наименования и записи чисел. Для представления чисел выбираются некоторые символы, называемые базисными числами. Для изображения чисел в настоящее время используются в основном позиционные системы счисления. Система называется позиционной, если значение каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения в последовательности цифр, изображающих число.

Запись произвольного числа X в К-ичной позиционной СС основывается на представлении этого числа в виде полинома:

X=a_nKⁿ+a_n-1K^n-1+…+a₁K¹+a₀K⁰+a_-1K^-1+…+a_-mK^-m+…

где каждый коэффициент а_i может быть одним из базисных чисел и изображается одной цифрой.

В современной вычислительной технике, в устройствах автоматики и связи широко используется двоичная система счисления. Эта система счисления с наименьшим возможным основанием. В ней для изображения числа используются только две цифры – 0 и 1. Так как в двоичной системе счисления для изображения любых чисел используются только две различные цифры, то при построении ЭВМ можно использовать элементы, которые могут находиться только в двух состояниях (например, высокое или низкое напряжение, наличие или отсутствие импульса). Это обстоятельство, а так же простота выполнения арифметических операций являются причиной того, что большинство современных ЭВМ используют двоичную СС.

Неудобство использования двоичной системы счисления заключается в громоздкости записи чисел. Это неудобство не имеет существенного значения для ЭВМ. Но если возникает необходимость кодировать информацию вручную, то предпочтительнее оказывается пользоваться восьмеричной или шестнадцатиричной СС. В восьмеричной системе счисления базисными числами являются 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. В шестнадцатиричной базисными являются числа от нуля до пятнадцати, в ней вместо чисел 10, 11, 12, 13, 14,15 применяются буквенные обозначения a, b, c, d, f.

7.Перевод чисел из одной системы счисления в другую – перевод чисел с основаниями, являющимися степенью 2, перевод целых и дробных чисел по правилам, по степенному ряду, по схеме Горнера.

Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему очень прост: достаточно каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой или тетрадой.

Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную или шестнадцатеричную, его нужно разбить влево и вправо от запятой на триады (для восьмеричной) и на тет рады (для шестнадцатеричной) и при необходимости дописать недостающие нули и каждую такую группу заменить соответствующей восьмеричной или шестнадцатеричной цифрой.

Для перевода целого десятичного числа N в систему счисления с основанием q необходимо N разделить с остатком (нацело) на q, записанное в той же десятичной системе. Затем неполное частное, полученное от такого деления, нужно снова разделить с остатком на q, и т.д., пока последнее полученное неполное частное не станет равным нулю. Представлением числа N в новой системе счисления будет последовательность остатков деления, изображенных одной q-ичной цифрой и записанных в порядке, обратном порядку их получения.

Для перевода правильной десятичной дроби F в систему счисления с основанием q необходимо F умножить на q, записанное в той же десятичной системе, затем дробную часть проученного произведения снова умножить на q, и т.д. и так до тех пор, пока дробная часть очередного произведения не станет равной нулю, либо не будет достигнута требуемая точность изображения числа F в q-ичной СС. Представлением дробной части числа F в новой СС будет последовательность целых частей полученных произведений, записанных в порядке их получения и изображенных одной q-ичной цифрой. Если требуемая точность перевода числа F составляет k знаков после запятой, то предельная абсолютная погрешность при этом равняется q^-(k+1)/2.

Перевод в десятичную систему числа x, записанного в q-ичной СС (q=2,8 или 16) в виде

x_q = ( a_n a_n-1 … a₀, a_-1 a_-2 … a_-m )_q , сводится к вычислению многочлена

x₁₀ = a_nqⁿ + a_n-1q^n-1 + … + a₀q⁰ + a_-1q^-1 + a_-2q^-2 + … + a_-mq^-m средствами десятичной арифметики.

Чтобы перевести десятичное число N в двоичную СС, можно воспользоваться степенным рядом двойки. Для этого записывается последовательность

… 256 128 64 32 16 8 4 2 1 , ½ ¼ 1/8 1/16 …

и над теми числами, которые в сумме составят заданное число N, нужно поставить цифру 1, а над всеми остальными 0, и записать получившуюся последовательность нулей и единиц.

Схема Горнера:

Для целой части числа A в q-ичной системе счисления:

Aq = (a_m-1 *q + a_m-2)*q + a_m-3)….)*q + a₁)*q + a₀

Для дробной части:

Aq = q^-1(a_-1 + q^-1(a_-2 + q^-1(…)(a-_I + q^-1)))))

8.Сложение и вычитание двоичных, восьмеричных и шестнадцатеричных чисел.

Сложение: операция сложения начинается с обработки наименьших значений цифр в крайней справа позиции. Если результат сложения наименьших значащих цифр двух слагаемых не помещается в соответствующем разряде результата, то происходит перенос, цифра, переносимая в соседний слева разряд, добавляется к содержимому последнего.

Проще говоря, при сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он переносится влево.

Пример:

Как и в случае сложения, различия выполнения действий состоят лишь в особенностях поразрядных операций. Если содержимое разряда уменьшаемого меньше содержимого одноименного разряда вычитаемого, то имеет место заем. В двоичной системе это происходит тогда, когда из нуля вычитается единица.

Пример: