25. Евклидово пространство. Скалярное произведение и его свойства
Евклидово пространство – это линейное пространство со скалярным произведением.
Определение
Пусть
- стандартный базис
("бегущая единица"). Пусть
.
Тогда
Скалярным произведением называется число
(*)
Свойства
1.
2.
(доказательство:
)
3.
4.
,
Что дает скалярное произведение?
I.
Длина
вектора
:
Свойства
1.
,
2.
3. Нормирование
вектора
:
,
.
II. Неравенство Коши-Буняковского
Для
,
причем
и
коллинеарны (
или
)
Следствие
1.
- неравенство треугольника
2. При
(1)
Из (1)
[_]
26. Ортонормированный базис
Определение
Пусть
.
и
называются ортогональными
(
)
(
)
Определение
Система называется ортонормированной, если она состоит из попарно перпендикулярных векторов длины 1.
при
и
или
Теорема
Любая ортогональная
система
в
линейно независима.
Доказательство
Пусть
(*)
Умножим (*) скалярно
на
:
Аналогично, умножив
(*) на
,
получим
и т.д. Получили, что
.
Следствие
Ортонормированная система из векторов является ортонормированным базисом .
Теорема
Пусть - ортонормированный базис в .
,
Тогда
[_]
27. Определения отображения и линейного преобразования. Примеры
Определение
Пусть
- множества (возможно
).
Отображение
это закон, по которому каждому элементу
ставится в соответствие единственный
элемент
.
Обозначается
.
Пример
Числовая функция
с областью определения
- это отображение
.
Определение
Пусть
- линейное (евклидово) пространство.
Отображение
называется линейным
преобразованием,
если для
и
1.
2.
Следствия
(док-во:
)
Пример
Числовая функция
является линейным преобразованием:
1.
2.
[_]
28. Матрица линейного преобразования
Пусть
:
- базис в
.
Пусть
Будем обозначать
Пусть для каждого
разложение
по
:
Матрицей линейного преобразования называется матрица
,
т.е. матрица, по столбцам которой записаны координаты в базисе .
Доказывается, что
для
[_]
29. Собственные векторы матрицы: определение, метод нахождения
Пусть
- квадратная матрица
,
.
Пусть
- записанный в столбец вектор
.
Тогда
имеет размерность
- то есть это тоже вектор из
.
Определение
Вектор
из
называется собственным
вектором
(СВ) квадратной матрицы
порядка
,
если
,
где
- некоторое число, называемое собственным
значением (СЗ) СВ
.
Почему СВ ?
для любого
,
т.е. был бы СВ с любым СЗ .
Метод нахождения
Пусть
- квадратная матрица порядка 3. Ищем СВ
в виде
,
где
- неизвестные и
,
так как это СВ.
Можно записать
Таким образом, мы получили матричный вид однородной СЛУ с неизвестными :
(*)
Очевидно, что вектор
является решением этой системы. По
правилу Крамера, если
,
то система имеет единственное решение
– вектор
,
но по определению
не может быть СВ. Значит для нахождения
СВ необходимо, чтобы
Определение
Пусть - квадратная матрица . Тогда
Называется характеристическим многочленом матрицы . Степень этого многочлена .
СВ матрицы существуют только для тех , которые являются корнями характеристического многочлена этой матрицы. Поэтому
1. Находим характеристический многочлен матрицы
и его корни
- СЗ матрицы
.
2. Подставляем в (*)
.
Общее решение этой СЛУ – множество всех
СВ для СЗ
.
3. Берем
и т.д.
[_]