23. Базис линейного пространства, его свойства. Координаты вектора в базисе

Определение

Линейно независимая система векторов называется максимальной линейно независимой системой, если - линейно зависимая система, т.е. если при добавлении любого вектора к линейно независимой системе она становится линейно зависимой.

Определение

Базис пространства - это любая максимальная линейно независимая система векторов из .

Теорема

В векторы

("бегущая единица") образуют базис.

Доказательство

Векторы линейно независимы (см. билет №22) и может быть представлен линейной комбинацией :

Значит система векторов линейно зависима - максимальная линейно независимая система векторов в - базис в .

Свойства базиса в

1) Любые два базиса состоят из векторов (без доказательства).

Определение

Размерность линейного пространства :

число векторов в базисе .

2) Базис определяет систему координат в

Теорема

Пусть - базис . Для любого вектора существует единственный набор чисел такой, что

Этот набор чисел называется координатами вектора в базисе .

Доказательство

1. Существование координат в базисе .

Так как - базис, то это максимальная линейно независимая система, а значит - линейно зависимая система. Значит ,не все равные 0, такие что

(*)

Если , то не все равны 0 и из (*) - линейно зависимая система – противоречие. Поэтому и из (*)

2. Единственность координат в базисе

Пусть

(1)

(2)

два разложения по базису и не все равны (т.е. . Тогда вычтем (1) – (2):

- линейно зависимая система – противоречие. [_]

24. Ранг матрицы и методы его нахождения

Пусть - прямоугольная матрица размерностью .

Определение

Ранг матрицы = числу линейно независимых строк в матрице = числу линейно независимых столбцов в матрице .

Методы нахождения ранга

1. Метод элементарных преобразований

Ранг = числу ненулевых строк в ступенчатом виде матрицы .

ненулевых строк – ранг матрицы равен .

2. Метод миноров

Теорема о равенстве определителя нулю

Пусть - квадратная матрица . Тогда строки (столбцы) линейно зависимы.

Доказательство

Элементарные преобразования 1 и 2 (перестановка строк и прибавление к строке другой, умноженной на число) могут изменить только знак . Поэтому , где - матрица , приведенная к ступенчатому виду. Значит имеет треугольный вид.

Получили, что определитель матрицы, имеющей треугольный вид, равен произведению элементов на диагонали. Если имеет ступенчатый, но не треугольный вид (т.е. на диагонали встречаются нулевые элементы), то , а значит имеет нулевую строку. Таким образом, имеет ступенчатый, но не треугольный вид число линейно независимых строк в .

Определение

Пусть . Минор порядка ( ) – определитель, элементы которого стоят на пересечении строк и столбцов матрицы .

Теорема о ранге матрицы

Если в матрице минор порядка , не равный 0 ( ), а все миноры порядка равны 0, то . То есть = наибольшему порядку минора в , который не равен 0.

Доказательство на примере

В минор 3-го порядка , а все миноры порядка равны (т.к. имеют -ю строчку).

[_]