4. Обратная матрица: определение, необходимое и достаточное условие ее существования. Нахождение обратной матрицы для квадратных матриц второго и третьего порядков

Определение

Пусть - матрица размерности . называется обратной матрицей, если

(*)

Из (*) следует, что число строк и столбцов в матрице равно числу строк и столбцов матрицы соответственно.

Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы

Пусть - матрица размерности . Обратная матрица существует тогда и только тогда, когда ( ).

Вид обратной матрицы

Пусть - матрица размерности , . Найдем обратную матрицу:

1. Находим все алгебраических дополнений к элементам матрицы . Алгебраическое дополнение – это определитель, полученный из матрицы вычеркиванием -ой строки и -го столбца, взятый со знаком , если сумма четная, и - если нечетная.

2. Составляем присоединенную к матрицу:

получена из заменой элементов на их алгебраические дополнения и транспонированием.

Частные случаи

[_]

5. Правило Крамера для решения систем линейных уравнений

Пусть дана система линейных уравнений

Запишем ее в матричной форме

Вычислим определитель системы

.

Если , то система либо не имеет решений, либо имеет бесконечно много решений и правило Крамера неприменимо.

Вычислим три вспомогательных определителя:

; ; .

Решение системы:

; ; .

[_]

6. Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы

Пусть дана система линейных уравнений

Запишем ее в матричной форме

(*)

Так как

,

то помножим обе части (*) на слева (обратная матрица существует, если ):

Итог: вектор решений системы уравнений является произведением обратной матрицы коэффициентов на столбец свободных членов.

[_]

7. Определение свободного вектора

Рассмотрим направленные отрезки. - направленный отрезок. Длина направленного отрезка равна по определению длине отрезка . - направленный отрезок длины 0.

Свободный вектор - направленный отрезок , начало которого можно поместить в любую точку пространства параллельным переносом.

Направленный отрезок называется представителем вектора , обозначается .

Нулевой вектор определяется направленным отрезком нулевой длины.

Определение равенства векторов

1.

2. и лежат на параллельных прямых

3. и одинаковы направлены ( ).

Обозначения:

- множество свободных векторов в пространстве

- множество свободных векторов на некоторой плоскости

[_]

8. Сложение векторов и умножение их на число

Сложение векторов

Пусть даны векторы и . Суммой векторов и называется вектор , который может быть получен следующим образом:

Вектор переносится параллельным переносом так, чтобы конец вектора и начало вектора совпали. Начало результирующего вектора совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора .

Свойства суммы

1. 

2. 

Произведение вектора на число

Пусть дан вектор и число . Произведением вектора на число называется вектор , такой что:

1. , если

2. , если

3. .

Свойства умножения на число

1. 

2. 

3. 

[_]