2.2 Нахождение корней уравнения методом деления отрезка пополам

Хорошим упражнением по работе с MS Excel является программирование на рабочем листе алгоритма нахождения корня уравнения F(x) = 0 методом деления отрезка пополам. Пусть непрерывная функция F(x) имеет значения разных знаков на концах отрезка [a; b], т. е. F(a)*F(b)=0.

Тогда уравнение F(x)=0 имеет корень внутри этого отрезка. Отрезок [a; b] называется отрезком локализации корня. Пусть c = (а + b) / 2 – середина отрезка [a; b]. Если F(а)*F(с)<=0, то корень находится на отрезке [a; с], который берем за новый отрезок локализации корня. Если F(а)*F(с)=0, то за отрезок локализации корня берем [c;b]. Отметим, что новый отрезок локализации корня в два раза меньше первоначального. Процесс деления локализации корня продолжаем до тех пор, пока его длина не станет меньше, точности нахождения корня. В этом случае любая точка локализации отличается от корня не более чем на ε/2.

На рисунке приведены результаты нахождения корня с точностью до 0.001 методом деления отрезка пополам уравнения x² -2 = 0. За первоначальный отрезок локализации корня выбран [0; 2].

Для реализации этого метода введите в ячейки рабочего лист формулы либо значения (табл. 1).

Таблица 1 – Формулы для нахождения корней уравнения⁶

Ячейка	Формула либо значение
B1	0,001
A3	0
B3	2
C3	=(A3+B3)/2
D3	=(A3^2-2)*(C3^2-2)
E3	=C3^2-2
F3	=ЕСЛИ(B3-A3<$B$1;"Корень найден и равен"&ТЕКСТ(C3;0,0000”);"")
A4	=ЕСЛИ(D3<=0;A3;C3)
B4	=ЕСЛИ(D3<=0;C3;B3)
C4	=(A4+B4)/2
D4	=(A4^2-2)*(C4^2-2)
E4	=C4^2-2
F4	=ЕСЛИ(B4-A4<$B$1;"Корень найден и равен"&ТЕКСТ(C4;"0,0000");"")

Теперь осталось только выбрать диапазон A4:F4, расположить указатель мыши на маркере его заполнения и протянуть указатель вниз до тех пор, пока в столбце F не появится сообщение о том, что корень найден. В данном случае сообщение появится в ячейке F14, а значение корня с точностью до 0.001 равно 1.414.

В заключение отметим, что в рассмотренном примере использовались:

• Операция конкатенации строк, которая объединяет несколько строк в одну. Операция конкатенация обозначается символом амперсанда &. При объединении двух строк вторая строка добавляется непосредственно в конец первой. Результатом является строка большего размера, содержащая целиком обе исходные строки. Например, “Корень“ & “уравнения” равно одной строке “Корень уравнения”. Обратите внимание, что пробел в конце первой строки используется для того, чтобы в результирующей строке отделить первое слово от второго. Вместо символа конкатенации можно также использовать функцию СЦЕПИТЬ(CONCATENATE). Тот же самый результат дает формула

=СЦЕПИТЬ(“Корень“;“уравнения”).

Если значение Корень введено в ячейку A1, а значение уравнения – в ячейку B1 то тот результат получается формулой = СЦЕПИТЬ (A1;” “;B1) или A1&“ “&B1:

• Функция рабочего листа из категории функций по работе с текстом ТЕКСТ (ТЕХТ). Данная функция преобразует значение в текст в заданном числовом формате.