2.2. Теплопроводность плоской стенки

1. Однородная стенка. Рассмотрим однослойную стенку толщиной δ (рис. 2.2.), коэффициент теплопроводности который постоянен. На наружных поверхностях стенки поддерживаются постоянные температуры t1 и t2. Температура изменяется только в направлении оси х. В этом случае температурное поле одномерно, изотермические поверхности плоские и располагаются перпендикулярно оси х.

На расстоянии х выделим внутри стенки слой толщиной dx, ограниченный двумя изотермическими поверхностями. На основании закона Фурье (уравнение 2.3) для этого случая можно написать:

или (2.5)

Плотность теплового потока q при стационарном тепловом режиме постоянна в каждом сечении, поэтому

(2.6)

Постоянна интегрирования С определяется из граничных условий, а именно при х = 0 t = t1 = C, а при х = δ t = t2. Подставляя эти значения в уравнение 2.6, имеем:

(2.7)

Из уравнения (2.7) определяется неизвестное значение плотности теплового потока q, а именно:

(2.8)

Следовательно, количество теплоты, переданное через единицу поверхности стенки в единицу времени, прямо пропорционально коэффициенту теплопроводности и разности температур наружных поверхностей и обратно пропорционально толщине стенки δ.

Уравнение (2.8) является расчетной формулой теплопроводности плоской стенки. Отношение называется тепловой проводимостью стенки, а обратная величина - термическим сопротивлением. Последнее определяет падение температуры в стенке на единицу плотности теплового потока.

Если в уравнение (2.6) подставить найденные значения С и плотности теплового потока q, то получим уравнение температурной кривой

(2.9)

Последнее показывает, что при постоянном значении коэффициента теплопроводности температура однородной стенки изменяется по линейному закону.

2. Многослойная стенка. Стенки, состоящие из нескольких разнородных слоев, называются многослойными. Именно такими являются, например, стены жилых домов, в которых на основном кирпичном слое с одной стороны имеется внутренняя штукатурка, с другой – внешняя облицовка.

Пусть стенка состоит из 3-х разнородных, но плотно прилегающих друг к другу слоев (рис. 2.3.). Толщина первого слоя δ1, второго δ2 и третьего δ3. Соответственно коэффициенты теплопроводности слоев λ1, λ2 и λ3. Кроме того, известны температуры наружных поверхностей стенки t1 и t4. Тепловой контакт между поверхностями предполагается идеальным, температуру в местах контакта мы обозначим через t2 и t3.

При стационарном режиме плотность теплового потока постоянна и для всех слоев одинакова. Поэтому на основании уравнения (2.8) можно написать:

;

; (2.10)

.

Из этих уравнений легко определить температурные напоры в каждом слое:

(2.11)

Сумма температурных напоров в каждом слое составляет полный температурный напор. Складывая левые и правые части системы уравнений (2.11), получаем:

(2.12)

Из соотношения (2.12) определяем значение плотности теплового потока:

(2.13)

По аналогии с изложенным можно написать расчетную формулу для n-слойной стенки:

(2.14)

Так как каждое слагаемое знаменателя в формуле (2.13) представляет собой термическое сопротивление слоя, то из уравнения (2.14) следует, что общее термическое сопротивление многослойной стенки равно сумме частных термических сопротивлений.

Если значение плотности теплового потока из уравнения (2.13) подставить в уравнение (2.11), то получим значения неизвестных температур t2 и t3:

; (2.15)

Внутри каждого слоя температура изменяется по прямой, но для многослойной стенки в целом она представляет собой ломанную линию (рис. 2.4.).

При выводе расчетной формулы для многослойной стенки мы предполагали, что слои плотно прилегают друг к другу и благодаря идеальному тепловому контакту соприкасающиеся поверхности разных слоев имеют одну и ту же температуру. Однако если поверхности шероховаты, тесное соприкосновение невозможно и между слоями образуются воздушные зазоры. Так как теплопроводность воздуха мала (λ=0,025 Вт/(м К)), то наличие даже очень тонких зазоров может сильно повлиять в сторону уменьшения эквивалентного коэффициента теплопроводности многослойной стенки. Поэтому при расчете и в особенности при измерении теплопроводности многослойной стенки следует обращать внимание на плотность контакта между слоями.

Формула для определения эквивалентного коэффициента теплопроводности:

(2.16)

Таким образом, эквивалентного коэффициента теплопроводности зависит от значений термических сопротивлений и толщины отдельных слоев.