6.1. Термодинамические процессы с идеальным газом.

Задачи исследования процессов с идеальным газом.

В последующих параграфах мы рассмотрим основные процессы с идеальным газом.

Исследование каждого процесса будет вестись по единому плану, который приводится ниже.

1) Вывод уравнения процесса, которое связывает текущие параметры состояния газа Р, V, Т.

2) Вывод формул соотношения параметров, которые дают связь между начальными и конечными параметрами газа в данном процессе. Эти формулы являются следствием уравнения процесса.

Вывод формул:

3) работы изменения объема и технической работы процесса;

4) теплоемкости и теплоты процесса;

5) изменения внутренней энергии, энтальпии и энтропии.

Формулы для определения ΔU и Δh одинаковы для всех процессов, поэтому приведем их здесь:

6) Примерное изображение процесса в диаграммах p-V и T-s.

7) Перечисление примеров использования данного процесса в технике.

Результаты исследования процессов с идеальным газом имеют непосредственное практическое приложение.

В последующих параграфах, во избежание ненужного повторения, указываются только номера пунктов приведенного здесь плана, без указания на их содержание.

а. Изобарный процесс

1. По определению процесса

p=const (6.10)

Используя уравнение Клапейрона , уравнение процесса можно еще представить в виде .

2. На основании последнего выражения .

3. Пользуясь уравнением процесса p=const, по формуле получаем:

(6.11)

Это выражение можно преобразовать на основе уравнения Клапейрона к виду . Отсюда вытекает механическая трактовка газовой постоянной: она численно равна удельной работе изменения объема при изобарном нагревании газа на 1 град.

Из (6.10) следует dp=0, так что техническая работа изобарного процесса, . Выясним смысл этого обстоятельства. При изобарном процессе изменение потенциальной энергии давления внешней среды равно

, т.к. p2=p1=p.

Как видим, работа изменения объема в точности равна работе проталкивания, поэтому в данном процессе никакой полезной работы не совершается.

4. Теплоемкость изобарного процесса обычно определяется по справочным данным. Формулы для количества теплоты процесса являются следствием формул (6.1) и (6.2):

; (6.12)

Из уравнения 1-го закона термодинамики в форме при вытекает:

; . (6.13)

Формула (6.13) справедлива не только для идеального газа, но и для любых других веществ, так как она получена из общего выражения первого закона.

5. Используя определение дифференциала энтропии и подставляя вместо dq первое из выражений (6.11), получим . Чтобы найти изменение энтропии в конечном изобарном процессе, нужно проинтегрировать последнее уравнение. При этом, если истинная изобарная теплоемкость не зависит от температуры (cp=const), то получится

В большинстве случаев зависимость cp от температуры должна учитываться, поэтому формула для изменения энтропии будет иметь вид

(6.14)

6. Из самого определения процесса p=const следует, что в pv - диаграмме изобарный процесс представляет собой отрезок горизонтальной прямой (рис. 6.1). Вид процесса в Ts-диаграмме легко установить на основе формулы (6.14). Перепишем эту формулу, полагая T1 и S1 фиксированными, а T2 и S2 - переменными: .

Отсюда видно, что изобара в Ts - диаграмме представляет собой логарифмическую кривую (см. рис. 6.1). Установим соответствие между направлениями процесса в обеих диаграммах. По закону Гей-Люссака, увеличению объема при изобарном процессе соответствует увеличение температуры. Следовательно, направлению изобары в pv - диаграмме вправо соответствует направление в Ts - диаграмме также вправо. На рис. 6.1 соответствующие точки в диаграммах обозначены одинаковыми цифрами. Из Ts-диаграммы следует, что при dq>0 dT>0, так что теплоемкость изобарного процесса есть величина положительная.

Рис. 6.1. Изображение изобарного процесса.

7. Изобарные процессы с газами чрезвычайно широко распространены в технике. Так, процесс нагревания или охлаждения протекающего газа в любом теплообменном аппарате является изобарным. Примерами таких теплообменных аппаратов являются воздухоподогреватели доменных и мартеновских печей, котельные установки, калориферы и т.д. Изобарный процесс также является составной частью цикла ДВС Дизеля.

б. Изохорный процесс

1. Изохорным называется процесс, протекающий при постоянном удельном объеме газа. Его уравнение

. (6.15)

Из уравнения Клапейрона следует

. (6.16)

2. Из уравнения (6.16) .

3. По уравнению процесса (6.15) dv=0, поэтому работа изменения объема в изохорном процессе равна нулю. Техническую работу найдем по формуле

.

В данном случае полезная внешняя работа совершается за счет убыли потенциальной энергии давления внешней среды. Это обстоятельство можно наглядно пояснить на уже знакомом нам примере с газом, который заключен в цилиндре с подвижным поршнем. Заменяя давление среды весом поставленного на поршень груза, увидим, что для совершения изохорного процесса по мере уменьшения давления газа в цилиндре необходимо постепенно разгружать поршень. При опускании частей груза, снятых с поршня, на некоторый нулевой уровень и будет совершаться техническая работа.

4. Теплоемкость изохорного процесса определяется либо по справочным данным, либо по уравнению Майера, для чего нужно предварительно найти изобарную теплоемкость. Количество теплоты вычисляется по известной теплоемкости:

; . (6.17)

Для определения количества теплоты можно использовать и более общее выражение, которое вытекает из уравнения первого закона термодинамики в форме dq = du + pdv при dv= 0:

; . (6.18)

Формула (6.18) справедлива для любых веществ.

5. Совершенно также, как и при изобарном процессе, получим

при ;

при . (6.19)

6. Из определения процесса (6.15) следует, что изохора в pv - диаграмме изображается отрезком прямой линии, перпендикулярной оси v (рис. 6.2).

Рис. 6.2. Изображение изохорного процесса Рис. 6.3. Расположение изобар и изохор

Из уравнения (6.19) получим, что в Тs - диаграмме изохора представляет собой логарифмическую кривую (рис. 6.3).

В соответствии с законом Шарля увеличению давления соответствует увеличение температуры, поэтому направлению изохоры в рv-диаграмме вверх соответствует направление в Ts - диаграмме также вверх. Можно показать, что cv - есть величина положительная. Сравним изображения изобары и изохоры в Ts - диаграмме. Как следует из определений дифференциала энтропии и истинной теплоемкости , при P=const; при V=const, или . Последние выражения дают не что иное, как тангенс угла наклона касательный к изобаре и изохоре в диаграмме Ts. При одинаковых температурах, например, в точке пересечения изобары и изохоры, наклон этих кривых будет зависеть от величины теплоемкости. Но, согласно уравнению Майера, cp>cv и.Следовательно, в Ts - диаграмме изохора, проходящая через некоторую точку, расположена круче изобары, проходящей через ту же точку (рис. 6.3).

7. Изохорный процесс встречается в технике гораздо реже, чем изобарный. Примером изохорного процесса является процесс нагревания или охлаждения газа в закрытом сосуде. Изохорный процесс является составной частью цикла карбюраторных двигателей внутреннего сгорания.

в. Изотермический процесс

1. Изотермическим называется процесс, протекающий при постоянной температуре:

Т=const (6.20)

или pv=const . (6.21)

2. Из (6.21) получим

. (6.22)

3. Работу изменения объема вычислим по формуле , подставляя вместо р его выражение из уравнения :

.

Используя (6.22) , получим

. (6.23)

С помощью уравнения можно формулу работы представить еще в виде

. (6.24)

Для вычисления технической работы вспомним ее выражение Но, согласно уравнению (6.21), скобка в правой части последней формулы обращается в нуль, поэтому . Следовательно, для технической работы изотермического процесса можно использовать формулы (6.23) и (6.24):

. (6.25)

4. Для определения количества теплоты используем уравнение 1-го закона термодинамики (dq = du + dl). Принимая во внимание, что в изотермическом процессе dt=0, получим dq=dl или q=l. Таким образом, при изотермическом процессе с идеальным газом вся подведенная теплота идет на совершение работы и ее количество можно вычислить по формуле (6.25). Ранее для определения количества теплоты мы использовали теплоемкость соответствующего процесса. В случае изотермического процесса этот путь невозможен. Дело в том, что определение теплоемкости (5.9) для этого процесса не имеет смысла, так как для элементарного процесса dq≠0, а знаменатель дроби (5.9) dt=0. Если процесс по характеру приближается к изотермическому, то его теплоемкость стремится к бесконечности.

5. В соответствии с формулами и Δh = cpm (t2 - t1), внутренняя энергия и энтальпия идеального газа при изотермическом процессе не изменяются: u=const, h=const.

Изменение энтропии найдем, проинтегрировав уравнение с учетом (6.20):

. (6.26)

Последнее выражение является совершенно общим, т.е. справедливо для любых веществ. Из него, между прочим, выводится общее выражение для количества теплоты изотермического процесса:

, (6.27)

которое можно применять, в отличие от формулы (6.25), не только для идеального газа, но и для рабочих тел любой природы. В случае идеального газа из уравнений (6.25) и (6.26) получим

. (6.28)

6. Как следует из уравнения процесса (6.20), изотерма в pv - диаграмме представляет собой дугу равнобочной гиперболы, а в Ts-диаграмме изображается отрезком горизонтальной прямой, согласно уравнению (6.23) (рис. 6.4).

Рис. 6.4. Изображение изотермического процесса.

Формула (6.28) показывает, что при возрастании объема (v2>v1) энтропия газа в изотермическом процессе также возрастает (Δs> 0). Следовательно, направлению изотермы в pv - диаграмме вправо соответствует направление в Ts-диаграмме также вправо. Формулу (6.28) удобно использовать для решения вопроса о расположении в Ts - диаграмме изобар разного давления и изохор разного объема. Пусть в Ts - диаграмме проведены две изобары соответствующие давлениям p1 и p2 (рис. 6.5,а).

Рис. 6.5. Расположение различных изобар и изохор в TS- координатах

Проведем между двумя изобарами отрезок изотермы, который будем считать направленным вправо. Так как при этом, очевидно, Δs> 0, согласно формуле (6.28) должно быть p1>p2. Если упомянутый отрезок изотермы располагать на разных уровнях, то, поскольку на каждой из двух рассматриваемых кривых давление не меняется, длина отрезка изотермы, согласно той же формуле (6.28), также не будет изменяться. Эти рассуждения приводят к следующему заключению: изобары разного давления в Ts - диаграмме для случая идеального газа являются эквидистантными линиями (в горизонтальном направлении), причем изобары большего давления расположены левее изобар меньшего давления. Аналогичные рассуждения в случае изохор дают следующее правило: изохоры разного удельного объема в Ts - диаграмме для идеального газа являются эквидистантными линиями (в горизонтальном направлении), причем изохоры большего объема расположены правее изохор меньшего объема (рис. 6.5,б).

7. Изотермический процесс с газом в технике не используется ввиду сложности его практического осуществления. Этот процесс имеет большое теоретическое значение. Часто встречается в технике изотермический процесс с водяным паром, что связано со специфическими свойствами этого рабочего тела в гетерогенном (двухфазном) состоянии.

г. Адиабатный процесс

Адиабатным называется процесс, протекающий без теплообмена газа с внешней средой, т.е. при dq= 0. При этом из формулы и следует, что ds= 0 и s=const. Следовательно, можно дать и другое определение процесса: адиабатным называется квазистатический процесс, протекающий при постоянной энтропии.

1. Для вывода уравнения процесса запишем 2 формы уравнения 1-го закона термодинамики:

; .

С учетом определения процесса dq=0 будем иметь .

Разделим правое уравнение на левое по частям: .

Обозначая отношение буквой k и считая k величиной постоянной, получим следующее простое дифференциальное уравнение: , интегрирование которого дает

; . (6.29)

Величина k называется показателем адиабаты; он зависит от рода газа и от температуры. Чтобы сохранить простой вид уравнения процесса, показатель адиабаты в технических расчетах обычно считают не зависящим от температуры, полагая . Принимая значения теплоемкостей по таблице, можно найти приближенное значение k. Например, для двухатомных газов k=7/5=1,4. Поскольку Сp>Сv, всегда k>1. С помощью уравнения нетрудно получить и другие формы уравнения процесса, а именно относительно переменных Т и v , ;

относительно переменных T и p , .

2. Формулы соотношения параметров получаются из приведенных выше уравнений процесса:

(6.30)

3. Работу изменения объема найдем по формуле (5.2), выражая p под знаком интеграла из (6.29) и принимая значение постоянной равным p1v1k:

.

Используя соотношения (6.30) и уравнение , можно формулу работы изменения объема представить в разных формах:

(6.31)

Техническую работу найдем из уравнения 1-го закона термодинамики . Полагая в этом уравнении dq=0, получим

, . (6.32)

Так как уравнение является совершенно общим, формула (6.32) справедлива для всех веществ. В частном случае идеального газа dh=cpdT, при cp=const получим:

(6.33)

или (6.34)

Справедливость замены легко проверить (см. уравнение Майера). Сравнивая формулы (6.31) и (6.34), получаем . Из уравнения первого закона термодинамики в форме (dq = du + pdv) выводится и общее выражение работы изменения объема адиабатного процесса, пригодное для любых веществ: или . (6.35)

Следовательно, в адиабатном процессе работа изменения объема совершается за счет убыли внутренней энергии рабочего тела.

4 и 5. Эти пункты плана в данном случае сводятся к повторению определения процесса: .Отсюда следует, что теплоемкость адиабатного процесса равна нулю (dt≠0).

6. Из уравнения процесса (6.29) вытекает, что адиабата в pv - диаграмме представляет собой дугу кривой линии, соответствующей степенной функции с отрицательным показателем (рис. 6.6).

В Ts - диаграмме адиабата изображается отрезком прямой линии, параллельной оси T , как следует из уравнения процесса s=const. Соответствие между направлениями процесса в указанных диаграммах установим с помощью формулы работы (6.31). При возрастании объема работа будет положительной; при этом, по формуле (6.31) должно быть Т1 > Т2. Таким образом, направлению адиабаты в pv -диаграмме вниз соответствует направление в Ts - диаграмме также вниз.

Рис. 6.6. Изображение адиабатного процесса

7. Адиабатный процесс является весьма распространенным в технике. Обычно процесс сжатия или расширения газа, протекающий настолько быстро, что газ не успевает обмениваться теплом с окружающей средой, считается адиабатным. К числу таких процессов относятся: сжатие газа в компрессоре с неохлаждаемым цилиндром, сжатие и расширение газов в двигателях внутреннего сгорания и газотурбинных установках и.т.д.

д. Политропные процессы

Политропным называется процесс, протекающий при постоянном значении истинной теплоемкости: c=dq/dt=const.

1. Вывод уравнения процесса аналогичен выводу уравнения адиабатного процесса. Используются две формы уравнения 1-го закона термодинамики для идеального газа (и ). Заменяя в этих уравнениях dq из формулы (5.9), получим .

Разделим правое уравнение на левое по частям: .

Обозначая , будем иметь дифференциальное уравнение

Поэтому решение его будет

(6.36)

Величина n называется показателем политропы. Если считать Сp и Сv не зависящими от температуры, то, по определению политропного процесса, будет соблюдаться условие n=const. Часто понятие политропного процесса устанавливается непосредственно на основе уравнения (6.36). Именно политропным называют процесс, при котором параметры состояния p и v связаны уравнением (6.36), где показатель n есть постоянная. Из того факта, что уравнения адиабатного и политропного процессов имеют одинаковый вид, следует, что полученные на их основе равенства будут также формально одинаковы; нужно только всюду заменить k на n:

2.

3.

(6.37)

4. Формула теплоемкости политропного процесса выводится из определения показателя политропы:

. (6.38)

Таким образом, зная показатель политропы и изохорную теплоемкость, можно вычислить теплоемкость любого политропного процесса. Количество теплоты определяется на основе понятия теплоемкости по обычной формуле:

5. Изменение энтропии найдем, заменяя в () dq на cndT и интегрируя полученное равенство: или, с учетом (6.38),

6. Будем придавать показателю политропы n в уравнении (6.36) частные значения. При n=0 получим p=const – уравнение изобарного процесса. При n=1 будет pv=const – уравнение изотермического процесса T=const. При n=k уравнение (6.36) преобразуется в (6.29) – уравнение адиабатного процесса. Возведем теперь обе части равенства (6.36) в степень 1/n и положим n→ ± ∞; при этом 1/n обратится в ноль и уравнение (6.36) перейдет в уравнение изохорного процесса v=const. Таким образом, все изученные ранее процессы являются лишь частными случаями политропного процесса. Следовательно, понятие политропного процесса является обобщающим. При выводе уравнения политропы никаких ограничений на величину n не накладывалось, поэтому можно считать, что n может принимать бесчисленное множество значений в интервале от -∞ до +∞ и, следовательно, существует бесчисленное множество политропных процессов.

Перейдем к изображению политропных процессов в pv - диаграмме. Предварительно установим связь между показателем политропы и тангенсом угла наклона касательной к политропе в заданной точке (p1,v1). Для этого найдем производную dp/dv с помощью уравнения (6.36), считая постоянную в правой части уравнения равной :

при (6.39)

Из формулы (6.39) непосредственно вытекают следующие правила:

А. Знак тангенса угла наклона касательной противоположен знаку показателя политропы, т.е. политропы с положительным показателем располагаются во втором и четвертом квадрантах диаграммы pv , а политропы с отрицательным показателем – в первом и третьем.

Б. В pv -диаграмме адиабата (n=k>1), проходящая через некоторую точку, расположена круче изотермы (n=1), проходящей через ту же точку.

В. При переходе от одной политропы к другой по часовой стрелке показатель политропы изменяется от -∞ (на изохоре) через 0 до +∞ (на изохоре). Различные политропы в pv -диаграмме изображены на рис. 6.7,а.

Изобразим также известные нам из предыдущего изложения политропы в Ts - диаграмме (рис. 6.7,б). Легко заметить, что порядок расположения политроп в Ts – диаграмме такой же, как и в pv - диаграмме, т.е. при переходе от одной политропы к другой по часовой стрелке показатель политропы возрастает от -∞ до +∞.

Рис. 6.7. Изображение различных политроп

Из равенства можно получить выражение для тангенса угла наклона касательной к политропе в Тs - диаграмме: .

Поскольку T есть величина существенно положительная, знак тангенса угла наклона касательной совпадает со знаком теплоемкости процесса. Отсюда следует, что политропы, расположенные во втором и четвертом квадрантах Тs - диаграммы, имеют отрицательную теплоемкость. Смысл отрицательной теплоемкости заключается в том, что в данном процессе при подводе теплоты температура тела уменьшается, и наоборот. При переходе от одной политропы к другой по часовой стрелке теплоемкость данного политропного процесса увеличивается от -∞ (на изотерме) через 0 до +∞ (на изотерме). Уточняя сказанное ранее, можно утверждать, что теплоемкость политропного процесса при n→1 стремится к ± ∞. Изображение процесса в Ts - диаграмме дает важную информацию о направлении преобразования энергии в данном процессе. В частности, можно установить направление теплообмена (подвод или отвод теплоты), знак изменения температуры и внутренней энергии, теплоемкости процесса. Поэтому полезно научиться строить в Ts - диаграмме примерный график процесса, заданного своим изображением в pv – диаграмме.