Алгоритм решения однородной системы

1-5. Выполнить первые 5 пунктов алгоритма Гаусса. При этом не требуется выяснять совместность системы, так как любая однородная система имеет решение (п.3 метода Гаусса следует пропустить).

Если ранг матрицы системы равен числу неизвестных , то система имеет единственное тривиальное решение и процесс решения заканчивается.

Если ранг матрицы системы меньше числа неизвестных , то система имеет бесконечно много решений. Структуру множества решений находим в следующих пунктах алгоритма.

6. Найти фундаментальную систему решений однородной системы. Для этого подставить в (5.13) последовательно стандартных наборов значений свободных переменных, в которых все свободные переменные равны нулю, кроме одной, равной единице (см. свойство 2 решений однородной системы).

7. Записать общее решение однородной системы по формуле.

30

В теории дифференциальных уравнений существует взаимосвязь между решениями неоднородной и соответствующей ей однородной систем уравнений, а именно: общее решение первой состоит из общего решения второй и какого-либо частного решения неоднородной системы.

Алгоритм решения неоднородной системы уравнений

1-5. Выполнить первые 5 пунктов метода Гаусса решения системы уравнений и получить формулу общего решения неоднородной системы вида.

6. Найти частное решение неоднородной системы, положив в все свободные переменные равными нулю.

7. Записав формулы общего решения соответствующей однородной системы, составить фундаментальную систему ее решений. Для этого подставить последовательно стандартных наборов значений свободных переменных, в которых все переменные равны нулю, за исключением одной, равной единице.

8. Записать общее решение неоднородной системы по формуле.

Пусть и  -- решения неоднородной системы . Тогда их разность является решением однородной системы с той же матрицей, то есть решением системы .

Пусть  -- решение неоднородной системы ,  -- любое решение однородной системы . Тогда  -- решение неоднородной системы.    

Пусть  -- некоторое решение неоднородной системы линейных уравнений ,  -- общее решение однородной системы . Тогда выражение называется общим решением неоднородной системы.         

Система линейных уравнений может иметь либо бесконечно много решений, либо одно решение, либо не иметь решений.