Інтервальні оцінки.

Точкові оцінки параметрів розподілу є випадковими величинами, їх можна вважати первинними результатами обробки вибірки тому, що невідомо, з якою точністю кожна з них оцінює відповідну числову характеристику генеральної сукупності. Якщо об’єм вибірки досить великий, то точкові оцінки задовольняють практичні потреби точності. Якщо ж об’єм вибірки малий, то точкові оцінки можуть давати значні похибки, тому питання точності оцінювання у цьому випадку дуже важливе і необхідно використовувати інтервальні оцінки.

Означення. Інтервальною називають оцінку, яка визначається двома числами – кінцями інтервалу.

Інтервальні оцінки дозволяють встановити точність та надійність оцінок.

Нехай знайдена за даними вибірки статистична оцінка є точковою оцінкою невідомого параметра . Очевидно, що тим точніше визначає , чим меншою є модуль різниці . Іншими словами, якщо , тоді меншому відповідатиме більш точна оцінка. Тому число називають граничною похибкою вибірки і воно характеризує точність оцінки.

Але статистичні методи не дозволяють категорично стверджувати, що оцінка задовольняє нерівність . Таке твердження можна зробити лише із певною імовірністю.

Означення. Надійністю (довірчою імовірністю) оцінки параметра називають імовірність

,

яку можна записати у вигляді . З цієї рівності випливає, що інтервал містить невідомий параметр генеральної сукупності.

Означення. Інтервал називають довірчим, якщо він покриває невідомий параметр із заданою надійністю .

Зауважимо, що кінці довірчого інтервалу є випадковими величинами.

За допомогою теорем закону великих чисел з уточненням Ляпунова (Чебишова для кількісної ознаки та Бернуллі для якісної ознаки) доводиться наступне твердження (класичні інтервальні оцінки або формули довірчої імовірності):

Теорема. Імовірність того, що модуль відхилення вібіркової середньої (або частки) від генеральної середньої (або частки) не перевищить число дорівнює:

(або ), де - інтегральна функція Лапласа, , а - середньоквадратична похибка (стандарт) вибірки, яка може бути знайдена за наступними формулами:

при оцінюванні середньої кількісної ознаки

у випадку повторної вибірки,

у випадку безповторної вибірки;

при оцінюванні частки якісної ознаки

у випадку повторної вибірки,

у випадку безповторної вибірки.

Зауваження. При визначенні середньоквадратичної похибки вибірки для частки якісної ознаки буває, що невідомі ні генеральна частка , ні її точкова оцінка – вибіркова частка . Тоді добуток покладають рівним максимальному можливому значенню - .

Наслідок. При заданій надійності (довірчій імовірності) гранична похибка вибірки дорівнює -кратній величині стандарту, тобто

.

Наслідок. Довірчі інтервали (інтервальні оцінки) для генеральної середньої та генеральної частки визначаються формулами:

та .

Із класичних оцінок, в яких точність оцінки визначається граничною похибкою , можна зробити наступні висновки:

1. при зростанні об’єму вибірки гранична похибка зменшується, тому точність оцінки збільшується (оскільки звужується довірчий інтервал);

2. збільшення надійності оцінки призводить до зростання (оскільки - зростаюча функція), а внаслідок цього, і до збільшення . Іншими словами: збільшення надійності класичної оцінки призводить до зменшення її точності;

3. аналіз формул для обчислення середньоквадратичної похибки вибірки дозволяє при об’ємах генеральної сукупності , або у випадках, коли (об’єм генеральної сукупності набагато більший об’єма вибірки), застосовувати більш прості формули повторної вибірки.