2I Выч[e iazf(z),zn ], где z n – изолир. О.Т. В верхней полуплоскости Im z 0.
Функция (z)=f '(z)/f(z)=
[ln f(z)] ' называется логарифмической производной функции f(z). Вычеты (z) в ее о.т.zn называются логарифмич.выч.. О.т. (z) будут нули z0k и полюса zk функции f(z).
Пусть z0k - нуль п-дка n ф-ции f(z); => f(z)=(z-z0k)nf1(z), f1(z0k) 0 => (z)=
n/(z-z0k)+f'1(z)/f1(z) =>
Выч[ (z),z0k]=n. Пусть zk - полюс порядка p
ф-ции f(z);=> f(z)= (z)/(z-zk)p , (zk) 0 => => (z)= - p/(z-zk)+ '(z)/ (z) => Выч[(z),zk]= - p.
Принцип
аргумента:
Разность между полным числом нулей и
пол-ов ф-ции f(z) в обл. g определяется
числом оборотов, которое совершает т.
w=f(z) вокруг т. w=0, при положительном обходе
точкой z контура 
.
Т-ма Руше: Если f(z), (z) C ( ) и |f(z)|Γ >| (z)| Γ, то N[f+]g=N[f]g.
N –полное число нулей.
Отображ. окр. т. z0 на окр. т. w0, обладающее свойствами сохранения углов и постоянства растяжений называется конформным отображением в точке z0.
Непрерыв. взаимно однознач. отображ. обл. g комплексной плоскости z на область D комплексной плоскости w, при котором z g выполн. св-ва сохранения углов и постоянства растяжений, называется конформным отображением g на D
Необх. и дост.усл-ем конфор. отображения является f(z) C (g), однозн.и однолист.в g.
Принцип соответств.гр. Пусть в конечн.обл.g задана аналит.ф-ция f(z) непрер. в G и осуществляется взаимно однозначн. отображ.контура γ на некот.конт. Γ компл.пл-сти w. Тогда,если при данном отобр.контуров сохр.направл. обхода, то f(z) осуществляет конф.отобр.обл.g на внутр. обл.D,огран.контуром Γ
Т-ма Римана:Всякую односв. обл.g компл.пл-сти z,граница кот.состоит более чем из 1 т., можно конф.отобр. на внутр-сть един.круга |w|<1 пл-сти w
Ф-ция Жуковского: w=f(z)= (1/2)(z+1/z)-однозначная аналитическая функция в кольце 0<|z|<∞. Отображает полную пл-сть z на риманову пов-сть обр.ф-ции. Обратн: z=φ(w)=w+√(w^2-1)
З
адача
Робэна:
Δu=0 вне С; u|C=const;.
Найти (s)
(s)=(q/2 |f '(z)|C .
f(t), - <t< 1) f(t) 0, t<0 2) f(t) при t≥0, конечного [a,b] f(t) имеет лишь конечное число разрывов I рода. 3)при t→∞ f(t) имеет огран.ст. роста,т.е.ф-ции класса Ǝ M,a>0:t>0 |f(t)|≤Meat
inf a’=a – показ.степ. роста
Односторон.
преобр Лапласа
ф-ции
f(t) класса ф-ций огр.степ.роста(A(a))
называется ф-ция компл. перемен. F(p),
определяемая соотн.: F(p)=
e-ptf(t)dt;
Если
F(p), то f(t)“=” F(p); f(t)-оригинал,
F(p)-изобр.
Для каких p Ǝ изобр: Если f(t) A(a), то F(p) при Re p>a и в обл/ Re p x0>a интеграл сходится равномерно по р
Аналит. св-во изобр: В области Rep>a (f(t) A(a)) F(p) C (Re p>a).
Т-ма запаздыв: Re p>a f(t)“=” F(p); f (t)={0, t< ; f(t-) t≥;}; Тогда f (t)“=” F (p)=
=e-p F(p);
F(p)=
=
= e-p F(p);
Изображ.произв: Если f ' (t) удовл.усл-ям сущ-ния изобр. При Re p>a и f(t) “=” F(p), то f ‘(t)“=”pF(p)-f(0)
Произв.изобр:Пусть Re p>a, F(p)“=”f(t).Тогда F '(p)“=”–tf(t)
Изобр.интегр:Пусть
Re p>a и
f(t) “=” F(p). Тогда
φ(t)=
“=”
(1/p)F(p)
Изображ.свертк:Свертк.
ф-цийf1(t),f2(t)назыв.φ(t)=
Если
Re p>a, f1(t)“=”
F1(p),
f2(t)“=”
F2(p),
то φ(t)=
“=”
F1(p)F2(p)
Интегр.Дюгамеля: y(t)=
Т
-ма
Меллина:
Пусть
и
р
авном.относит.аргумента
р
авном.огр.по
x. Тогда
f(t)“=” F(p)
Изобр.произвед:Пусть
f1(t)“=” F1(p), f2(t)“=” F2(p),
Re
p>a1,a2.
Тогда
f(t)= f1(t)f2(t)
“=”F(p)=
=
Причем, F(p) опред.и аналит. в обл. Re p> a1+a2.