Интегр.Ф-ла для коэф.РТейл.

На границе круга сх-сти СР найдется хотя бы одна о.т. аналитич.ф-ции комплексной переменной, которая является суммой ряда внутри его круга сх-сти |z-z₀|<R₀

Ряд Лорана: c_n(z-z₀)ⁿ = c_n(z-z₀)ⁿ+ =P(z)+Q(z). P(z) - правильная часть р.Л, Q(z)- главная часть р.Л. P(z) C (|z-z₀|<R₁). Сделаем замену 1/(z-z₀)= ; Q(z) Q( )= c_-n ⁿ C (| |<1/R₂ ), где 1/R₂ радиус сх-сти полученного СР. При R₂<R₁ существует общая область сх-сти круговое кольцо R₂<|z-z₀|<R₁.

Разлож-сть ф-ции в р.Л:

Ф-ция f(z),аналитич.в круговом кольце R₂<|z-z₀|<R₁ однозначн.предст-ся в этом кольце сх-ся р.Л.

Точка z₀ – изолированная особая точка ф-ции f(z), если f(z) однозначн. и  C (0<|z-z₀|< (z₀)), а точка z₀ – особая точка ф-ции f(z). (др.* z₀ - изолированная особая точка ф-ции f(z), если такая окр. точки z₀, в которой нет других особых точек функции f(z).)

n>0  c_-n=0; Q(z)=0; f(z) c₀ при z z₀-  устр. особая т.

z - устранимой особой точкой f(z), если все c_n=0 при n>0 f(z)= c_nzⁿ,или Ǝ конечный lim f(z) при z

Если f(z) C (0<|z-z₀|< (z₀)) и |f(z)|<M при 0<|z-с|< (z₀), то z₀ – устр. особая т.

Если f(z) C (R₂<|z-z₀|<R₁), то она однозначно разложима в этом кольце в ряд Лорана f(z)= c_n(z-z₀)ⁿ.

f(z) при z z₀-  полюс порядка m, f(z)= ; (z₀) 0

z - полюс f(z) если р.Л

ф-ции f(z) в окрестности z   содержит конечное число членов с полож. степенями f(z)= c_nzⁿ, (m>0) или f(z) при z .

Если f(z) C (0<|z-z₀|< (z₀)), z₀ – изолир.особая т. f(z) и |f(z)|=> при z z₀ (независимо от способа стремления), то z₀ - полюс f(z).

Точка z₀ - существенно особая т. ф-ции f(z), если р.Л ф-ции f(z) в окр. ее изолир. особой т. z₀ содержит бесконечно много членов с отриц. степенями разности (z-z₀ ). (Бесконечно коэф c_-n 0).

Точка z - существенно особая т. ф-ции f(z), если р.Л ф-ции f(z) в окр. z содержит бесконечно много членов с полож. степенями z:  f(z)= c_nzⁿ , или при z у f(z) нет конечного или бесконечного предела

Т-ма Сохоцк-Вейерштр.: комплексного числа B и >0, в - окр.сущ. особой т. z₀ 0<|z-z₀|< z₁:|f(z₁)-B|< 

Компл. число Выч[f(z),z₀]= где С ⁺ - замкн. контур, который можно стянуть к z₀, оставаясь в кольце аналитичности ф-ции f(z)- называется вычетом f(z) в точке z₀.

Осн.т-ма теории выч.: Пусть f(z) C ( ) за исключением конечного числа N изол. о.т. Тогда  f(z)dz =

2i Выч [f(z),z_n].

z₀- устр. о.т. Выч [f(z),z₀]=0

z₀ - полюс порядка m>0

Выч [f(z),z₀]=c_-1=

z₀- сущест. о.т. Выч [f(z),z₀]= c_-1=

Выч [f(z),z ]= - = - c_-1

Если z - устр. о.т., то вычет в ней может быть ≠ 0.

Ф-ция комплексн.перемен. f(x) назыв.мероморфной,если она опр.на всей компл.пл-сти и не имеет в конечн.части

пл-сти о.т, отличных от пол-ов

(дробно-лин., tg)

Сумма всех выч. ф-ции, аналит. на полной компл.

пл-сти, за исключением конечного числа изолир. о. т., включая выч. в z = 0.

Пусть f(x) задана при - <x< и аналитическое продолжение f(z) на Im z 0, имеющее конечное число изолир. о.т. z_n, не имеющее о.т на действительной оси и |f(z)|<M/|z| ^{1+ }, >0. Тогда н.и. I-го рода  f(x)dx=2 i Выч[f(z),z _n].

Лемма Жордана: Если f(z) C (|z|>R₀ Imz>0) за исключением конечного числа изолир. о.т. и f(z)=>0 при |z| (равномерно по arg z, 0 arg z ), z Imz>0, то при a>0  e^{ia }f()d=0, C'_R - полуокружность |z|=R Imz>0.

Пусть f(x) задана при - <x< и аналитическое продолжение f(z) на Im z 0, имеющее конечное число изолир. о.т. z_n , не имеющее о.т. на действительной оси и удовл. усл. леммы Жордана. Тогда  e^iaxf(x)dx=